Номер 291, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

291. Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины $X$, если доли неизвестных вероятностей одинаковы. Используя таблицу, найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$:

Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины X, если доли неизвестных вероятностей одинаковы.

Решение:

Сумма всех вероятностей $p_i$ в законе распределения случайной величины должна быть равна 1, то есть $\sum p_i = 1$. Из таблицы известны четыре вероятности: $P(X=3)=0,1$, $P(X=7)=0,1$, $P(X=18)=0,1$ и $P(X=21)=0,1$. Их сумма равна $0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4$.

Следовательно, на две неизвестные вероятности $P(X=12)$ и $P(X=15)$ приходится: $1 - 0,4 = 0,6$.

По условию, доли неизвестных вероятностей одинаковы. Обозначим каждую из них как $p$. Тогда: $p + p = 0,6$ $2p = 0,6$ $p = 0,3$

Таким образом, вероятности, соответствующие значениям $X=12$ и $X=15$, равны 0,3.

Ответ: Заполненная таблица закона распределения:

Используя таблицу, найдите M(X), D(X), σ(X).

Решение:

1. Найдем математическое ожидание M(X).

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 12 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,3 + 18 \cdot 0,1 + 21 \cdot 0,1$ $M(X) = 0,3 + 0,7 + 3,6 + 4,5 + 1,8 + 2,1 = 13$.

2. Найдем дисперсию D(X).

Дисперсия вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2)$, математическое ожидание квадрата случайной величины: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 12^2 \cdot 0,3 + 15^2 \cdot 0,3 + 18^2 \cdot 0,1 + 21^2 \cdot 0,1$ $M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 144 \cdot 0,3 + 225 \cdot 0,3 + 324 \cdot 0,1 + 441 \cdot 0,1$ $M(X^2) = 0,9 + 4,9 + 43,2 + 67,5 + 32,4 + 44,1 = 193$.

Теперь вычислим дисперсию: $D(X) = 193 - (13)^2 = 193 - 169 = 24$.

3. Найдем среднее квадратическое отклонение σ(X).

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $M(X) = 13$; $D(X) = 24$; $\sigma(X) = 2\sqrt{6}$.