Номер 295, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

295. Заданы законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле:

Для распределения X:

$X$: 8, 8, 10

$p$: 0,4, 0,1, 0,5

Для распределения Y:

$Y$: 8, 9, 10

$p$: 0,2, 0,5, 0,3

Какой стрелок точно попадет в цель?

$M(X)$, $D(X)$, (X) $M(2X + 5)$, $D(2Y + 5)$

Чтобы определить, какой из стрелков точнее, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения: математическое ожидание и дисперсию. Математическое ожидание показывает среднее значение, которое принимает случайная величина (в данном случае — количество выбитых очков), а дисперсия характеризует разброс (кучность) результатов относительно этого среднего значения. Более точным считается стрелок, у которого выше математическое ожидание и ниже дисперсия.

Дано:

Закон распределения для первого стрелка (случайная величина X):

Закон распределения для второго стрелка (случайная величина Y):

Найти:

Определить, какой стрелок точнее.

Решение:

В законе распределения первого стрелка значение $X=8$ указано дважды. Объединим эти события, сложив их вероятности:

$P(X=8) = 0,4 + 0,1 = 0,5$

Таким образом, закон распределения для первого стрелка (X) примет вид:

Проверим сумму вероятностей: $0,5 + 0,5 = 1$.

Расчет характеристик для первого стрелка (X)

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$ по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4 + 5 = 9$

2. Найдем дисперсию $D(X)$ по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 64 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = 82 - 9^2 = 82 - 81 = 1$

Расчет характеристик для второго стрелка (Y)

1. Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,3 = 1,6 + 4,5 + 3,0 = 9,1$

2. Найдем дисперсию $D(Y)$:

Сначала вычислим $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,3 = 64 \cdot 0,2 + 81 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,3 = 12,8 + 40,5 + 30 = 83,3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 83,3 - (9,1)^2 = 83,3 - 82,81 = 0,49$

Сравнение и вывод

Сравним полученные характеристики для обоих стрелков:

Математическое ожидание: $M(X) = 9$, $M(Y) = 9,1$. Поскольку $M(Y) > M(X)$, второй стрелок в среднем выбивает больше очков.

Дисперсия: $D(X) = 1$, $D(Y) = 0,49$. Поскольку $D(Y) < D(X)$, результаты второго стрелка имеют меньший разброс, то есть его стрельба более стабильна и кучна.

Так как у второго стрелка и средний результат выше, и разброс результатов меньше, он является более точным стрелком.

Ответ: Второй стрелок попадает в цель точнее.