Номер 299, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите интегралы (299—303):

299.1) $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx;$

4) $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx.$

299.1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 1 - 3x^2 $.

Используя таблицу первообразных, находим:

$ F(x) = \int (1 - 3x^2) dx = \int 1 dx - \int 3x^2 dx = x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x - x^3 $.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2) dx = (x - x^3) \Big|_{-1}^{0} = F(0) - F(-1) $.

$ F(0) = 0 - 0^3 = 0 $.

$ F(-1) = (-1) - (-1)^3 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $.

$ F(0) - F(-1) = 0 - 0 = 0 $.

Ответ: 0.

2)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 $:

$ F(x) = \int (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx = \frac{x^4}{4} - 2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \Big|_{0}^{1} $.

$ = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 \right) $.

$ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 - 8 + 6 + 12}{12} = \frac{13}{12} $.

Ответ: $ \frac{13}{12} $.

3)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx $.

Первообразную для функции вида $ (kx+b)^n $ можно найти по формуле $ \int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C $.

В нашем случае $ f(x) = (2+x)^3 $, где $ k=1, b=2, n=3 $.

Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{(2+x)^{3+1}}{1 \cdot (3+1)} = \frac{(2+x)^4}{4} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx = \frac{(2+x)^4}{4} \Big|_{0}^{1} = \frac{(2+1)^4}{4} - \frac{(2+0)^4}{4} $.

$ = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4} $.

Ответ: $ \frac{65}{4} $.

4)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx $.

Воспользуемся той же формулой для первообразной функции вида $ (kx+b)^n $.

В нашем случае $ f(x) = (4-x)^4 $, где $ k=-1, b=4, n=4 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(4-x)^{4+1}}{-1 \cdot (4+1)} = -\frac{(4-x)^5}{5} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx = \left( -\frac{(4-x)^5}{5} \right) \Big|_{2}^{3} = \left( -\frac{(4-3)^5}{5} \right) - \left( -\frac{(4-2)^5}{5} \right) $.

$ = \left( -\frac{1^5}{5} \right) - \left( -\frac{2^5}{5} \right) = -\frac{1}{5} - \left( -\frac{32}{5} \right) = -\frac{1}{5} + \frac{32}{5} = \frac{31}{5} $.

Ответ: $ \frac{31}{5} $.