Номер 302, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упражнения для повторения курса 'Алгебра и начала анализа' для 11 класса. I. Вычисления - номер 302, страница 146.

Условие.

302. 1) $\int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx$;

2) $\int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx$;

3) $\int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx$;

4) $\int_{0}^{1} \left(e^{\frac{x}{3}} - 3x^2\right)dx$.

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = 2x^{-1} + 1 = \frac{2}{x} + 1 $.
Первообразная для $ \frac{2}{x} $ есть $ 2\ln|x| $. Первообразная для $ 1 $ есть $ x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 2\ln|x| + x $.
Поскольку на отрезке $ [1, e] $ значение $ x > 0 $, то $ |x|=x $. Получаем $ F(x) = 2\ln x + x $.
Теперь вычислим значения первообразной на границах интегрирования.
При $ x = e $: $ F(e) = 2\ln(e) + e = 2 \cdot 1 + e = 2 + e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 2\ln(1) + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $.
Вычисляем разность: $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx = F(e) - F(1) = (2 + e) - 1 = e + 1 $.

Ответ: $ e + 1 $.

2)

Решение

Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx $ найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3^{0.5x} $.
Используем табличный интеграл для показательной функции $ \int a^{kx}dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a} + C $.
В нашем случае $ a=3 $, $ k=0.5 $.
Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx = F(2) - F(0) $.
При $ x = 2 $: $ F(2) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 2}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^1}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3} $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^0}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3} $.
Вычисляем разность: $ F(2) - F(0) = \frac{6}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{4}{\ln 3} $.

Ответ: $ \frac{4}{\ln 3} $.

3)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = 3x^{-1} - 4 = \frac{3}{x} - 4 $.
Первообразная для $ \frac{3}{x} $ есть $ 3\ln|x| $. Первообразная для $ -4 $ есть $ -4x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3\ln|x| - 4x $. На отрезке $ [1, e] $ $ x > 0 $, поэтому $ F(x) = 3\ln x - 4x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx = F(e) - F(1) $.
При $ x = e $: $ F(e) = 3\ln(e) - 4e = 3 \cdot 1 - 4e = 3 - 4e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3\ln(1) - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 0 - 4 = -4 $.
Вычисляем разность: $ F(e) - F(1) = (3 - 4e) - (-4) = 3 - 4e + 4 = 7 - 4e $.

Ответ: $ 7 - 4e $.

4)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = e^{\frac{x}{3}} - 3x^2 $.
Интеграл от разности равен разности интегралов: $ \int (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = \int e^{\frac{x}{3}}dx - \int 3x^2dx $.
Первообразная для $ e^{\frac{x}{3}} $ (используя формулу $ \int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} $) есть $ \frac{e^{\frac{x}{3}}}{1/3} = 3e^{\frac{x}{3}} $.
Первообразная для $ -3x^2 $ есть $ -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - x^3 $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = F(1) - F(0) $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3e^{\frac{1}{3}} - 1^3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 1 $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = 3e^{\frac{0}{3}} - 0^3 = 3e^0 - 0 = 3 \cdot 1 = 3 $.
Вычисляем разность: $ F(1) - F(0) = (3e^{\frac{1}{3}} - 1) - 3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.

Ответ: $ 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.