Номер 302, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Авторы: Абылкасымова А. Е., Шойынбеков К. Д., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2015 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-0525-8
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 11 классе
I. Вычисления. Упражнения для повторения курса 'Алгебра и начала анализа' для 11 класса - номер 302, страница 146.
№302 (с. 146)
Условие. №302 (с. 146)
скриншот условия

302. 1) $\int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx$;
2) $\int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx$;
3) $\int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx$;
4) $\int_{0}^{1} \left(e^{\frac{x}{3}} - 3x^2\right)dx$.
Решение. №302 (с. 146)

Решение 2 (rus). №302 (с. 146)
1)
Решение
Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = 2x^{-1} + 1 = \frac{2}{x} + 1 $.
Первообразная для $ \frac{2}{x} $ есть $ 2\ln|x| $. Первообразная для $ 1 $ есть $ x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 2\ln|x| + x $.
Поскольку на отрезке $ [1, e] $ значение $ x > 0 $, то $ |x|=x $. Получаем $ F(x) = 2\ln x + x $.
Теперь вычислим значения первообразной на границах интегрирования.
При $ x = e $: $ F(e) = 2\ln(e) + e = 2 \cdot 1 + e = 2 + e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 2\ln(1) + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $.
Вычисляем разность: $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx = F(e) - F(1) = (2 + e) - 1 = e + 1 $.
Ответ: $ e + 1 $.
2)
Решение
Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx $ найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3^{0.5x} $.
Используем табличный интеграл для показательной функции $ \int a^{kx}dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a} + C $.
В нашем случае $ a=3 $, $ k=0.5 $.
Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx = F(2) - F(0) $.
При $ x = 2 $: $ F(2) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 2}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^1}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3} $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^0}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3} $.
Вычисляем разность: $ F(2) - F(0) = \frac{6}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{4}{\ln 3} $.
Ответ: $ \frac{4}{\ln 3} $.
3)
Решение
Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = 3x^{-1} - 4 = \frac{3}{x} - 4 $.
Первообразная для $ \frac{3}{x} $ есть $ 3\ln|x| $. Первообразная для $ -4 $ есть $ -4x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3\ln|x| - 4x $. На отрезке $ [1, e] $ $ x > 0 $, поэтому $ F(x) = 3\ln x - 4x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx = F(e) - F(1) $.
При $ x = e $: $ F(e) = 3\ln(e) - 4e = 3 \cdot 1 - 4e = 3 - 4e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3\ln(1) - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 0 - 4 = -4 $.
Вычисляем разность: $ F(e) - F(1) = (3 - 4e) - (-4) = 3 - 4e + 4 = 7 - 4e $.
Ответ: $ 7 - 4e $.
4)
Решение
Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = e^{\frac{x}{3}} - 3x^2 $.
Интеграл от разности равен разности интегралов: $ \int (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = \int e^{\frac{x}{3}}dx - \int 3x^2dx $.
Первообразная для $ e^{\frac{x}{3}} $ (используя формулу $ \int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} $) есть $ \frac{e^{\frac{x}{3}}}{1/3} = 3e^{\frac{x}{3}} $.
Первообразная для $ -3x^2 $ есть $ -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - x^3 $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = F(1) - F(0) $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3e^{\frac{1}{3}} - 1^3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 1 $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = 3e^{\frac{0}{3}} - 0^3 = 3e^0 - 0 = 3 \cdot 1 = 3 $.
Вычисляем разность: $ F(1) - F(0) = (3e^{\frac{1}{3}} - 1) - 3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.
Ответ: $ 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 302 расположенного на странице 146 к учебнику 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №302 (с. 146), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Шойынбеков (Каримжан Давлеталиевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.