Номер 308, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

308. 1) $ \log_{27} 3 - \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + \log_{2,5} 0,4; $

2) $ \log_{\sqrt{6}} \frac{1}{36} - \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} - \log_{0,2} 5; $

3) $ 9^{\frac{3}{2}} - \log_{\frac{1}{5}} 25; $

4) $ \log_{\sqrt{3}} 27 - \log_{1,5} \frac{2}{3} - \log_8 4; $

5) $ \log_3 \frac{1}{27} - \log_4 32; $

6) $ 625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} \log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}. $

1)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{27}3 - \log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} + \log_{2,5}0,4$ по частям, используя свойства логарифмов.

1. Для первого слагаемого $\log_{27}3$ представим основание в виде степени числа 3: $27=3^3$.

$\log_{27}3 = \log_{3^3}3 = \frac{1}{3}\log_3 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

2. Для второго слагаемого $\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}$ представим основание и аргумент в виде степеней числа 5: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} = \log_{5^{1/2}}5^{-1} = \frac{-1}{1/2}\log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$.

3. Для третьего слагаемого $\log_{2,5}0,4$ представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,5 = \frac{5}{2}$ и $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Аргумент является обратной величиной к основанию: $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

$\log_{2,5}0,4 = \log_{5/2}(\frac{2}{5}) = \log_{5/2}(\frac{5}{2})^{-1} = -1 \cdot \log_{5/2}(\frac{5}{2}) = -1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\log_{27}3 - \log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} + \log_{2,5}0,4 = \frac{1}{3} - (-2) + (-1) = \frac{1}{3} + 2 - 1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36} - \log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2} - \log_{0,2}5$ по частям.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36}$. Основание $\sqrt{6} = 6^{1/2}$, аргумент $\frac{1}{36} = 6^{-2}$.

$\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36} = \log_{6^{1/2}}6^{-2} = \frac{-2}{1/2}\log_6 6 = -4$.

2. Вычислим $\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}$. Основание $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, аргумент $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2} = \log_{2^{1/2}}2^{-1} = \frac{-1}{1/2}\log_2 2 = -2$.

3. Вычислим $\log_{0,2}5$. Основание $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$\log_{0,2}5 = \log_{5^{-1}}5^1 = \frac{1}{-1}\log_5 5 = -1$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$-4 - (-2) - (-1) = -4 + 2 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$.

3)

Решение

Вычислим значение выражения $9^{\frac{3}{2}} - \log_{\frac{1}{5}}25$ по частям.

1. Вычислим $9^{\frac{3}{2}}$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

2. Вычислим $\log_{\frac{1}{5}}25$. Основание $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, аргумент $25 = 5^2$.

$\log_{\frac{1}{5}}25 = \log_{5^{-1}}5^2 = \frac{2}{-1}\log_5 5 = -2$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$27 - (-2) = 27 + 2 = 29$.

Ответ: $29$.

4)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{3}}27 - \log_{1,5}\frac{2}{3} - \log_8 4$ по частям.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{3}}27$. Основание $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, аргумент $27 = 3^3$.

$\log_{\sqrt{3}}27 = \log_{3^{1/2}}3^3 = \frac{3}{1/2}\log_3 3 = 6$.

2. Вычислим $\log_{1,5}\frac{2}{3}$. Основание $1,5 = \frac{3}{2}$, аргумент $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.

$\log_{1,5}\frac{2}{3} = \log_{3/2}(\frac{3}{2})^{-1} = -1$.

3. Вычислим $\log_8 4$. Приведем основание и аргумент к общему основанию 2: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$\log_8 4 = \log_{2^3}2^2 = \frac{2}{3}\log_2 2 = \frac{2}{3}$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$6 - (-1) - \frac{2}{3} = 7 - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} - \frac{2}{3} = \frac{19}{3}$.

Ответ: $\frac{19}{3}$.

5)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_3\frac{1}{27} - \log_4 32$ по частям.

1. Вычислим $\log_3\frac{1}{27}$. Аргумент $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

$\log_3\frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \log_3 3 = -3$.

2. Вычислим $\log_4 32$. Приведем основание и аргумент к общему основанию 2. $4=2^2$, $32=2^5$.

$\log_4 32 = \log_{2^2}2^5 = \frac{5}{2}\log_2 2 = \frac{5}{2}$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$-3 - \frac{5}{2} = -\frac{6}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{11}{2}$.

Ответ: $-\frac{11}{2}$.

6)

Решение

Вычислим значение выражения $625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4}\log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}$ по частям.

1. Вычислим $625^{\frac{1}{4}}$. Так как $625 = 5^4$, то:

$625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 5^1 = 5$.

2. Вычислим значение выражения $\frac{1}{4}\log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}$.

а) Сначала найдем значение $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

б) Затем найдем значение $36^{\log_6 2}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, преобразуем выражение. Так как $36 = 6^2$, то:

$36^{\log_6 2} = (6^2)^{\log_6 2} = 6^{2\log_6 2}$.

Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$6^{2\log_6 2} = 6^{\log_6 2^2} = 6^{\log_6 4} = 4$.

в) Теперь перемножим полученные значения: $\frac{1}{4} \cdot (\log_2 4) \cdot (36^{\log_6 2}) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 4 = 2$.

3. Выполним вычитание, подставив найденные значения в исходное выражение:

$5 - 2 = 3$.

Ответ: $3$.