Номер 315, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

315.1) $\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x^{1,5}-4x}-\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x^{1,5}+4x}\right):\frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}}$

2) $\left(\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}}-\frac{y^{1,5}}{y^2-25y}\right):\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$

1)

Дано:

$\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x^{1,5}-4x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x^{1,5}+4x}\right) : \frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Найти:

Упростить выражение.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ (из-за степеней $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{1,5}$) и знаменатели не должны быть равны нулю.
$x^{1,5}-4x = x(x^{\frac{1}{2}}-4) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x^{\frac{1}{2}} \ne 4 \implies x \ne 16$.
$x^{1,5}+4x = x(x^{\frac{1}{2}}+4) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x^{\frac{1}{2}} \ne -4$ (всегда верно для $x > 0$).
Делитель не равен нулю: $x-16 \ne 0 \implies x \ne 16$.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \ne 16$.

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем знаменатели:
$x^{1,5}-4x = x \cdot x^{\frac{1}{2}}-4x = x(x^{\frac{1}{2}}-4)$
$x^{1,5}+4x = x \cdot x^{\frac{1}{2}}+4x = x(x^{\frac{1}{2}}+4)$
Выражение в скобках принимает вид:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x(x^{\frac{1}{2}}-4)} - \frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x(x^{\frac{1}{2}}+4)}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x^{\frac{1}{2}}-4)(x^{\frac{1}{2}}+4) = x((\sqrt{x})^2 - 4^2) = x(x-16)$:
$\frac{(x^{\frac{1}{2}}+4)(x^{\frac{1}{2}}+4) - (x^{\frac{1}{2}}-4)(x^{\frac{1}{2}}-4)}{x(x-16)} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}+4)^2 - (x^{\frac{1}{2}}-4)^2}{x(x-16)}$

3. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x^{\frac{1}{2}}+4)^2 - (x^{\frac{1}{2}}-4)^2 = \left((x^{\frac{1}{2}}+4) - (x^{\frac{1}{2}}-4)\right)\left((x^{\frac{1}{2}}+4) + (x^{\frac{1}{2}}-4)\right) = (x^{\frac{1}{2}}+4 - x^{\frac{1}{2}}+4)(x^{\frac{1}{2}}+4 + x^{\frac{1}{2}}-4) = (8)(2x^{\frac{1}{2}}) = 16x^{\frac{1}{2}}$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)}$

4. Выполним деление:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)} : \frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x-16}$

5. Упростим полученное выражение:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)^2} = \frac{16x}{x(x-16)^2} = \frac{16}{(x-16)^2}$

Ответ: $\frac{16}{(x-16)^2}$.

2)

Дано:

$\left(\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1,5}}{y^2-25y}\right) : \frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$

Найти:

Упростить выражение.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $y>0$.
Знаменатели не равны нулю:
$y-5y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5) \ne 0 \implies y \ne 0$ и $y^{\frac{1}{2}} \ne 5 \implies y \ne 25$.
$y^2-25y = y(y-25) \ne 0 \implies y \ne 0$ и $y \ne 25$.
$y^{\frac{1}{2}}+5 \ne 0$ (всегда верно при $y>0$).
Делитель не равен нулю: $5y^{\frac{1}{2}}+25-y \ne 0$.
Итак, ОДЗ: $y>0, y \ne 25$ и $y - 5y^{\frac{1}{2}} - 25 \ne 0$.

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем каждую дробь.
Первая дробь: $\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$.
Вторая дробь: $\frac{y^{1,5}}{y^2-25y} = \frac{y \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y(y-25)} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y-25} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)}$.

2. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель: $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5) = y^{\frac{1}{2}}(y-25)$.
$\frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)} = \frac{5(y^{\frac{1}{2}}+5) - y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)}$
Упростим числитель:
$5(y^{\frac{1}{2}}+5) - (y^{\frac{1}{2}})^2 = 5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y$.
Выражение в скобках равно:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)}$.

3. Выполним деление:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)} : \frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$
Для деления умножаем на обратную дробь:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}$

4. Сократим одинаковые множители $(5y^{\frac{1}{2}}+25-y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)}$

5. Разложим знаменатель $y-25 = (y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)$ и выполним последнее сокращение:
$\frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$

Это выражение можно также записать как $\frac{1}{y - 5y^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$.