Номер 313, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

313. 1) F(x) = $\frac{3^x}{\ln3} + 3x,$ f(x) = $3^x + 3,$ $x \in R;$

2) F(x) = $\ln x - (0,5)^x,$ f(x) = $\frac{1}{x} - 0,5^x \ln \frac{1}{2},$ $x \in R;$

3) F(x) = $x - \ln x^3,$ f(x) = $\frac{x-3}{x},$ $x \in (0; +\infty);$

4) F(x) = $\ln x^2,$ f(x) = $\frac{2}{x},$ $x \in (0; +\infty).$

Для проверки, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1) $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + 3x$, $f(x) = 3^x + 3$, $x \in R$

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$, используя правила дифференцирования суммы и формулы производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и степенной функции $(kx)' = k$.

$F'(x) = \left(\frac{3^x}{\ln 3} + 3x\right)' = \left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)' + (3x)'$

$F'(x) = \frac{1}{\ln 3} \cdot (3^x)' + 3 = \frac{1}{\ln 3} \cdot (3^x \ln 3) + 3 = 3^x + 3$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 3^x + 3 = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

2) $F(x) = \ln x - (0,5)^x$, $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2}$, $x \in R$

Решение:

Область определения функции $F(x)$ (из-за $\ln x$) и функции $f(x)$ (из-за $\frac{1}{x}$) есть промежуток $(0; +\infty)$, а не все действительные числа $R$, как указано в условии для $f(x)$. Проверку будем проводить на этой общей области определения.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности и формулы $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(a^x)' = a^x \ln a$.

$F'(x) = (\ln x - (0,5)^x)' = (\ln x)' - ((0,5)^x)' = \frac{1}{x} - (0,5)^x \ln(0,5)$

Используя свойство логарифма $\ln(0,5) = \ln\frac{1}{2}$, преобразуем выражение:

$F'(x) = \frac{1}{x} - (0,5)^x \ln\frac{1}{2}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на их общей области определения $(0; +\infty)$.

3) $F(x) = x - \ln x^3$, $f(x) = \frac{x-3}{x}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение:

Упростим функцию $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$. Так как $x > 0$, это преобразование является корректным.

$F(x) = x - 3\ln x$

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x - 3\ln x)' = (x)' - (3\ln x)' = 1 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{3}{x}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{x-3}{x} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

4) $F(x) = \ln x^2$, $f(x) = \frac{2}{x}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение:

Упростим функцию $F(x)$. Так как по условию $x > 0$, мы можем использовать свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$.

$F(x) = \ln x^2 = 2\ln x$

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{2}{x} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.