Номер 310, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

310. Если $ \log_7 3 = a $ и $ \log_7 5 = b $, то найдите:

1) $ \log_7 25 - \log_7 243 $;

2) $ \log_{125} 81 + 2 \log_7 15 $;

3) $ \frac{1}{2} \log_7 441 - \log_5 9 $;

4) $ \log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245 $.

Дано:

$ \log_7 3 = a $

$ \log_7 5 = b $

Найти:

Значения выражений, выраженные через $a$ и $b$.

Решение:

Для решения задачи будем использовать следующие свойства логарифмов:

1. $ \log_c (x \cdot y) = \log_c x + \log_c y $ (логарифм произведения)

2. $ \log_c (x / y) = \log_c x - \log_c y $ (логарифм частного)

3. $ \log_c (x^k) = k \cdot \log_c x $ (логарифм степени)

4. $ \log_c c = 1 $

5. $ \log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c} $ (формула перехода к новому основанию)

1) $ \log_7 25 - \log_7 243 $

Представим числа 25 и 243 в виде степеней чисел 3 и 5:

$ 25 = 5^2 $

$ 243 = 3^5 $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \log_7 25 - \log_7 243 = \log_7 (5^2) - \log_7 (3^5) $

Используя свойство логарифма степени, вынесем показатели степени за знак логарифма:

$ 2 \log_7 5 - 5 \log_7 3 $

Теперь подставим данные из условия $ \log_7 3 = a $ и $ \log_7 5 = b $:

$ 2b - 5a $

Ответ: $ 2b - 5a $

2) $ \log_{125} 81 + 2 \log_7 15 $

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $ \log_{125} 81 $ перейдем к основанию 7, используя формулу перехода к новому основанию:

$ \log_{125} 81 = \frac{\log_7 81}{\log_7 125} $

Представим 81 и 125 в виде степеней:

$ 81 = 3^4 $

$ 125 = 5^3 $

$ \frac{\log_7 (3^4)}{\log_7 (5^3)} = \frac{4 \log_7 3}{3 \log_7 5} = \frac{4a}{3b} $

Для второго слагаемого $ 2 \log_7 15 $ представим 15 как произведение 3 и 5:

$ 15 = 3 \cdot 5 $

$ 2 \log_7 15 = 2 \log_7 (3 \cdot 5) $

Используя свойство логарифма произведения:

$ 2 (\log_7 3 + \log_7 5) = 2(a + b) $

Теперь сложим полученные выражения:

$ \frac{4a}{3b} + 2(a + b) = \frac{4a}{3b} + 2a + 2b = \frac{4a + 2a \cdot 3b + 2b \cdot 3b}{3b} = \frac{4a + 6ab + 6b^2}{3b} $

Ответ: $ \frac{4a + 6ab + 6b^2}{3b} $

3) $ \frac{1}{2}\log_7 441 - \log_5 9 $

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\log_7 441 $ разложим 441 на множители. $ 441 = 21^2 = (3 \cdot 7)^2 = 3^2 \cdot 7^2 $.

$ \frac{1}{2}\log_7 (441) = \frac{1}{2}\log_7 (21^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_7 21 = \log_7 (3 \cdot 7) $

Используя свойство логарифма произведения:

$ \log_7 3 + \log_7 7 = a + 1 $

Для второго слагаемого $ \log_5 9 $ перейдем к основанию 7:

$ \log_5 9 = \frac{\log_7 9}{\log_7 5} $

Представим 9 как $3^2$:

$ \frac{\log_7 (3^2)}{\log_7 5} = \frac{2 \log_7 3}{\log_7 5} = \frac{2a}{b} $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (a + 1) - \frac{2a}{b} = \frac{(a + 1)b}{b} - \frac{2a}{b} = \frac{ab + b - 2a}{b} $

Ответ: $ \frac{ab + b - 2a}{b} $

4) $ \log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245 $

Внесем множитель 3 под знак логарифма во втором слагаемом и используем свойство суммы логарифмов:

$ \log_{15} 21 + \log_{15} (245^3) = \log_{15} (21 \cdot 245^3) $

Перейдем к основанию 7:

$ \log_{15} (21 \cdot 245^3) = \frac{\log_7 (21 \cdot 245^3)}{\log_7 15} $

Разложим числа в аргументе и основании логарифма на простые множители:

$ 15 = 3 \cdot 5 $

$ 21 = 3 \cdot 7 $

$ 245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2 $

Найдем логарифм знаменателя:

$ \log_7 15 = \log_7 (3 \cdot 5) = \log_7 3 + \log_7 5 = a + b $

Найдем логарифм числителя:

$ \log_7 (21 \cdot 245^3) = \log_7 ( (3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7^2)^3 ) = \log_7 (3 \cdot 7 \cdot 5^3 \cdot 7^6) = \log_7 (3 \cdot 5^3 \cdot 7^7) $

Используя свойства логарифмов:

$ \log_7 3 + \log_7 (5^3) + \log_7 (7^7) = \log_7 3 + 3\log_7 5 + 7\log_7 7 = a + 3b + 7 \cdot 1 = a + 3b + 7 $

Теперь составим дробь:

$ \frac{a + 3b + 7}{a + b} $

Ответ: $ \frac{a + 3b + 7}{a + b} $