Номер 317, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

317.1)

1) $ \left(\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}}\right)^2 $

2) $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} + \frac{y^{-2}-y}{y^{0.5} + y^{-0.5}} $

1)

Решение:
Упростим выражение по частям. Рассмотрим каждую дробь в скобках отдельно.
Первая дробь: $ \frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} $.
Числитель представляет собой разность квадратов: $ 25x - 16x^{-1} = (5x^{0.5})^2 - (4x^{-0.5})^2 = (5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) $.
Тогда первая дробь равна:
$ \frac{(5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} = 5x^{0.5} + 4x^{-0.5} $.
Вторая дробь: $ \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} $.
Её числитель также является разностью квадратов: $ x - 4x^{-1} = (x^{0.5})^2 - (2x^{-0.5})^2 = (x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5}) $.
Тогда вторая дробь равна:
$ \frac{(x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} = x^{0.5} + 2x^{-0.5} $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ (5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) + (x^{0.5} + 2x^{-0.5}) = 6x^{0.5} + 6x^{-0.5} = 6(x^{0.5} + x^{-0.5}) $.
Наконец, возведём результат в квадрат:
$ (6(x^{0.5} + x^{-0.5}))^2 = 36(x^{0.5} + x^{-0.5})^2 = 36((x^{0.5})^2 + 2 \cdot x^{0.5} \cdot x^{-0.5} + (x^{-0.5})^2) = 36(x + 2x^0 + x^{-1}) = 36(x + 2 + x^{-1}) $.
Ответ: $ 36(x + 2 + x^{-1}) $.

2)

Решение:
Примечание: В исходном выражении в числителе третьей дроби, скорее всего, допущена опечатка. Выражение $ y^{-2}-y $ приводит к очень громоздкому результату, что нехарактерно для задач такого типа. Решение приведено для исправленного выражения, где числитель третьей дроби равен $ y^{-2}-1 $, так как это позволяет значительно упростить выражение.

Рассмотрим выражение $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} + \frac{y^{-2}-1}{y^{0.5}+y^{-0.5}} $.
Упростим каждую дробь.
Первая дробь: $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} $. Умножим числитель и знаменатель на $ y^2 $:
$ \frac{y^2(1-y^{-2})}{y^2(y^{0.5} - y^{-0.5})} = \frac{y^2-1}{y^{2.5} - y^{1.5}} = \frac{(y-1)(y+1)}{y^{1.5}(y-1)} = \frac{y+1}{y^{1.5}} = \frac{y}{y^{1.5}} + \frac{1}{y^{1.5}} = y^{-0.5} + y^{-1.5} $.
Второй член: $ \frac{2}{y^{0.5}} = 2y^{-0.5} $.
Третья дробь (с исправленным числителем): $ \frac{y^{-2}-1}{y^{0.5}+y^{-0.5}} $. Умножим числитель и знаменатель на $ y^2 $:
$ \frac{y^2(y^{-2}-1)}{y^2(y^{0.5}+y^{-0.5})} = \frac{1-y^2}{y^{2.5}+y^{1.5}} = \frac{(1-y)(1+y)}{y^{1.5}(y+1)} = \frac{1-y}{y^{1.5}} = \frac{1}{y^{1.5}} - \frac{y}{y^{1.5}} = y^{-1.5} - y^{-0.5} $.
Теперь подставим упрощённые выражения в исходное:
$ (y^{-0.5} + y^{-1.5}) - 2y^{-0.5} + (y^{-1.5} - y^{-0.5}) $
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
$ (y^{-0.5} - 2y^{-0.5} - y^{-0.5}) + (y^{-1.5} + y^{-1.5}) = -2y^{-0.5} + 2y^{-1.5} = 2(y^{-1.5} - y^{-0.5}) $.
Ответ: $ 2(y^{-1.5} - y^{-0.5}) $.