Номер 323, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите иррациональные уравнения (323 – 327):

323.1) $\sqrt{2x-7}=3;$

2) $\sqrt[3]{x^2+7x+8}=2;$

3) $\sqrt{11+3x}=4;$

4) $\sqrt[3]{27+2x-x^2}=3.$

1) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt{2x-7} = 3 $.
Чтобы решить это уравнение, необходимо избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Также необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $ 2x - 7 \ge 0 $
$ 2x \ge 7 $
$ x \ge 3.5 $
Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{2x-7})^2 = 3^2 $
$ 2x - 7 = 9 $
Решаем полученное линейное уравнение:
$ 2x = 9 + 7 $
$ 2x = 16 $
$ x = \frac{16}{2} $
$ x = 8 $
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение $x=8$ условию ОДЗ $x \ge 3.5$.
Поскольку $8 \ge 3.5$, корень является действительным решением.
Можно также выполнить проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:
$ \sqrt{2 \cdot 8 - 7} = \sqrt{16-7} = \sqrt{9} = 3 $.
$ 3 = 3 $. Равенство верное.
Ответ: $8$.

2) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt[3]{x^2+7x+8} = 2 $.
Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в куб. Для корней нечетной степени область допустимых значений — все действительные числа, поэтому проверка ОДЗ не требуется.
Возводим обе части в куб:
$ (\sqrt[3]{x^2+7x+8})^3 = 2^3 $
$ x^2+7x+8 = 8 $
Переносим 8 в левую часть уравнения:
$ x^2+7x+8-8 = 0 $
$ x^2+7x = 0 $
Решаем полученное неполное квадратное уравнение, вынося общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x+7) = 0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$ x_1 = 0 $ или $ x+7 = 0 $, откуда $ x_2 = -7 $.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-7; 0$.

3) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt{11+3x} = 4 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Найдем ОДЗ.
ОДЗ: $ 11+3x \ge 0 $
$ 3x \ge -11 $
$ x \ge -\frac{11}{3} $
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{11+3x})^2 = 4^2 $
$ 11+3x = 16 $
Решаем линейное уравнение:
$ 3x = 16 - 11 $
$ 3x = 5 $
$ x = \frac{5}{3} $
Проверяем, удовлетворяет ли корень $ x = \frac{5}{3} $ условию ОДЗ $ x \ge -\frac{11}{3} $.
Так как $ \frac{5}{3} > 0 $, а $ -\frac{11}{3} < 0 $, то условие $ \frac{5}{3} \ge -\frac{11}{3} $ выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$ \sqrt{11 + 3 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4 $.
$ 4 = 4 $. Равенство верное.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt[3]{27+2x-x^2} = 3 $.
Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от знака радикала. ОДЗ для кубического корня — все действительные числа.
$ (\sqrt[3]{27+2x-x^2})^3 = 3^3 $
$ 27+2x-x^2 = 27 $
Переносим все члены в левую часть:
$ 27+2x-x^2 - 27 = 0 $
$ 2x-x^2 = 0 $
Решаем неполное квадратное уравнение, вынося $x$ за скобки:
$ x(2-x) = 0 $
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$ x_1 = 0 $ или $ 2-x = 0 $, откуда $ x_2 = 2 $.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 2$.