Страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

321.1) $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24} = -3;$

2) $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45} = 2;$

3) $\frac{2 \log_{11} 5 + 2 \log_{11} 2}{2 \log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3 \log_{11} 2} = 2;$

4) $\frac{3 \lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15} = 5.$

1)

Дано:

Выражение $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $-3$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами логарифмов:

Сумма логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$.

Разность логарифмов: $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$.

Свойство степени: $n \log_a x = \log_a(x^n)$.

1. Преобразуем числитель дроби, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_5 3 + \log_5 9 = \log_5(3 \cdot 9) = \log_5 27$.

2. Преобразуем знаменатель дроби, используя свойства степени и разности логарифмов:

$3\log_5 2 - \log_5 24 = \log_5(2^3) - \log_5 24 = \log_5 8 - \log_5 24 = \log_5(\frac{8}{24}) = \log_5(\frac{1}{3})$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5(\frac{1}{3})}$.

4. Упростим полученное выражение, представив числа под логарифмом в виде степеней: $27 = 3^3$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\frac{\log_5(3^3)}{\log_5(3^{-1})} = \frac{3\log_5 3}{-1\log_5 3}$.

5. Сократим общий множитель $\log_5 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3}{-1} = -3$.

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: $-3$.

2)

Дано:

Выражение $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $2$.

Решение:

1. Преобразуем числитель, используя свойство разности логарифмов:

$\log_6 75 - \log_6 3 = \log_6(\frac{75}{3}) = \log_6 25$.

2. Преобразуем знаменатель, используя свойства степени и суммы логарифмов:

$2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45 = \log_6((\frac{1}{3})^2) + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9}) + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9} \cdot 45) = \log_6(\frac{45}{9}) = \log_6 5$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\log_6 25}{\log_6 5}$.

4. Упростим выражение, зная что $25 = 5^2$:

$\frac{\log_6(5^2)}{\log_6 5} = \frac{2\log_6 5}{\log_6 5}$.

5. Сократим общий множитель $\log_6 5$:

$\frac{2}{1} = 2$.

Равенство верно.

Ответ: $2$.

3)

Дано:

Выражение $\frac{2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2}{2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $2$.

Решение:

1. Преобразуем числитель:

$2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2 = \log_{11}(5^2) + \log_{11}(2^2) = \log_{11} 25 + \log_{11} 4 = \log_{11}(25 \cdot 4) = \log_{11} 100$.

2. Преобразуем знаменатель:

$2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2 = \log_{11}(4^2) + \log_{11} 5 - \log_{11}(2^3) = \log_{11} 16 + \log_{11} 5 - \log_{11} 8$.

Объединим логарифмы: $\log_{11}(\frac{16 \cdot 5}{8}) = \log_{11}(\frac{80}{8}) = \log_{11} 10$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\log_{11} 100}{\log_{11} 10}$.

4. Упростим, используя $100 = 10^2$:

$\frac{\log_{11}(10^2)}{\log_{11} 10} = \frac{2\log_{11} 10}{\log_{11} 10}$.

5. Сократим общий множитель $\log_{11} 10$:

$\frac{2}{1} = 2$.

Равенство верно.

Ответ: $2$.

4)

Дано:

Выражение $\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15}$. (lg - это десятичный логарифм $\log_{10}$)

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $5$.

Решение:

1. Преобразуем числитель:

$3\lg 4 + \lg 0,5 = \lg(4^3) + \lg 0,5 = \lg 64 + \lg 0,5 = \lg(64 \cdot 0,5) = \lg 32$.

2. Преобразуем знаменатель:

$\lg 30 - \lg 15 = \lg(\frac{30}{15}) = \lg 2$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\lg 32}{\lg 2}$.

4. Упростим, используя $32 = 2^5$:

$\frac{\lg(2^5)}{\lg 2} = \frac{5\lg 2}{\lg 2}$.

5. Сократим общий множитель $\lg 2$:

$\frac{5}{1} = 5$.

Равенство верно.

Ответ: $5$.

322. 1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100;$

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27;$

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36;$

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54.$

1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100$

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя свойства степеней и логарифмов. Сначала рассмотрим первый множитель:

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5}$

Используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 5^2} = 3^{\log_3 25}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3 25} = 25$

Теперь рассмотрим второй множитель:

$13^{2\log_{13} 2} = 13^{\log_{13} 2^2} = 13^{\log_{13} 4}$

По основному логарифмическому тождеству:

$13^{\log_{13} 4} = 4$

Перемножим полученные значения:

$25 \cdot 4 = 100$

Так как левая часть равна $100$, равенство верно.

Ответ: Равенство $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100$ верно.

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$

Решение:

Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим показатель степени, вынеся $\log_7 3$ за скобки:

$\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3 = (1 + \frac{1}{2}) \log_7 3 = \frac{3}{2} \log_7 3$

Подставим упрощенный показатель обратно в выражение:

$49^{\frac{3}{2}\log_7 3}$

Представим основание $49$ как $7^2$:

$(7^2)^{\frac{3}{2}\log_7 3} = 7^{2 \cdot \frac{3}{2}\log_7 3} = 7^{3\log_7 3}$

Используя свойство $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$7^{3\log_7 3} = 7^{\log_7 3^3} = 7^{\log_7 27}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 27} = 27$

Левая часть равна $27$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$ верно.

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36$

Решение:

Рассмотрим каждый множитель в левой части отдельно.

Первый множитель: $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$. Преобразуем логарифм, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ (перейдем к основанию 5):

$\log_{\sqrt{5}} 2 = \frac{\log_5 2}{\log_5 \sqrt{5}} = \frac{\log_5 2}{\log_5 5^{1/2}} = \frac{\log_5 2}{1/2} = 2\log_5 2$

Тогда первый множитель равен:

$5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

Второй множитель: $121^{\log_{11} 3}$. Представим $121$ как $11^2$:

$121^{\log_{11} 3} = (11^2)^{\log_{11} 3} = 11^{2\log_{11} 3} = 11^{\log_{11} 3^2} = 11^{\log_{11} 9} = 9$

Перемножим результаты:

$4 \cdot 9 = 36$

Левая часть равна $36$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36$ верно.

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$

Решение:

Вычислим значение каждого компонента выражения по порядку.

Делимое в скобках: $8^{\log_2 3}$. Представим $8$ как $2^3$:

$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} = 27$

Делитель в скобках: $27^{\log_3 2}$. Представим $27$ как $3^3$:

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2} = 3^{3\log_3 2} = 3^{\log_3 2^3} = 3^{\log_3 8} = 8$

Результат деления в скобках:

$27 : 8 = \frac{27}{8}$

Второй множитель: $25^{\log_5 4}$. Представим $25$ как $5^2$:

$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$

Теперь выполним умножение:

$\frac{27}{8} \cdot 16 = 27 \cdot \frac{16}{8} = 27 \cdot 2 = 54$

Левая часть равна $54$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$ верно.

Решите иррациональные уравнения (323 – 327):

323.1) $\sqrt{2x-7}=3;$

2) $\sqrt[3]{x^2+7x+8}=2;$

3) $\sqrt{11+3x}=4;$

4) $\sqrt[3]{27+2x-x^2}=3.$

1) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt{2x-7} = 3 $.
Чтобы решить это уравнение, необходимо избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Также необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $ 2x - 7 \ge 0 $
$ 2x \ge 7 $
$ x \ge 3.5 $
Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{2x-7})^2 = 3^2 $
$ 2x - 7 = 9 $
Решаем полученное линейное уравнение:
$ 2x = 9 + 7 $
$ 2x = 16 $
$ x = \frac{16}{2} $
$ x = 8 $
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение $x=8$ условию ОДЗ $x \ge 3.5$.
Поскольку $8 \ge 3.5$, корень является действительным решением.
Можно также выполнить проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:
$ \sqrt{2 \cdot 8 - 7} = \sqrt{16-7} = \sqrt{9} = 3 $.
$ 3 = 3 $. Равенство верное.
Ответ: $8$.

2) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt[3]{x^2+7x+8} = 2 $.
Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в куб. Для корней нечетной степени область допустимых значений — все действительные числа, поэтому проверка ОДЗ не требуется.
Возводим обе части в куб:
$ (\sqrt[3]{x^2+7x+8})^3 = 2^3 $
$ x^2+7x+8 = 8 $
Переносим 8 в левую часть уравнения:
$ x^2+7x+8-8 = 0 $
$ x^2+7x = 0 $
Решаем полученное неполное квадратное уравнение, вынося общий множитель $x$ за скобки:
$ x(x+7) = 0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$ x_1 = 0 $ или $ x+7 = 0 $, откуда $ x_2 = -7 $.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-7; 0$.

3) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt{11+3x} = 4 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Найдем ОДЗ.
ОДЗ: $ 11+3x \ge 0 $
$ 3x \ge -11 $
$ x \ge -\frac{11}{3} $
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{11+3x})^2 = 4^2 $
$ 11+3x = 16 $
Решаем линейное уравнение:
$ 3x = 16 - 11 $
$ 3x = 5 $
$ x = \frac{5}{3} $
Проверяем, удовлетворяет ли корень $ x = \frac{5}{3} $ условию ОДЗ $ x \ge -\frac{11}{3} $.
Так как $ \frac{5}{3} > 0 $, а $ -\frac{11}{3} < 0 $, то условие $ \frac{5}{3} \ge -\frac{11}{3} $ выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$ \sqrt{11 + 3 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4 $.
$ 4 = 4 $. Равенство верное.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

4) Решение:
Дано иррациональное уравнение $ \sqrt[3]{27+2x-x^2} = 3 $.
Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от знака радикала. ОДЗ для кубического корня — все действительные числа.
$ (\sqrt[3]{27+2x-x^2})^3 = 3^3 $
$ 27+2x-x^2 = 27 $
Переносим все члены в левую часть:
$ 27+2x-x^2 - 27 = 0 $
$ 2x-x^2 = 0 $
Решаем неполное квадратное уравнение, вынося $x$ за скобки:
$ x(2-x) = 0 $
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$ x_1 = 0 $ или $ 2-x = 0 $, откуда $ x_2 = 2 $.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 2$.

324.1) $x = 7 - \sqrt{3x+7}$;

2) $\sqrt{15-3x} - x = 1$;

3) $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$;

4) $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

1) $x = 7 - \sqrt{3x+7}$

Дано: Уравнение $x = 7 - \sqrt{3x+7}$.

Найти: $x$.

Решение:

Перенесем слагаемое с корнем в левую часть уравнения, а $x$ в правую, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{3x+7} = 7 - x$

Для решения иррационального уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x+7 \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -7 \\ -x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7/3 \\ x \le 7 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ для $x$ является промежуток $[-7/3, 7]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+7} = 7 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{3x+7})^2 = (7 - x)^2$

$3x + 7 = 49 - 14x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 14x - 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 - 17x + 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $17$, а их произведение равно $42$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 14$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-7/3, 7]$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию, так как $-7/3 \le 3 \le 7$.
Корень $x_2 = 14$ не удовлетворяет условию, так как $14 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt{15-3x} - x = 1$

Дано: Уравнение $\sqrt{15-3x} - x = 1$.

Найти: $x$.

Решение:

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{15-3x} = x + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение и правая часть должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 15-3x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -3x \ge -15 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -1 \end{cases}$

ОДЗ для $x$ является промежуток $[-1, 5]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{15-3x} = x + 1$ в квадрат:

$(\sqrt{15-3x})^2 = (x+1)^2$

$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: сумма корней равна $-5$, произведение равно $-14$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1, 5]$).
Корень $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 2 \le 5$.
Корень $x_2 = -7$ не принадлежит ОДЗ, так как $-7 < -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $2$.

3) $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$

Дано: Уравнение $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$.

Найти: $x$.

Решение:

Уединим квадратный корень в левой части:

$\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 21x+25 \ge 0 \\ 5+3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 21x \ge -25 \\ 3x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -25/21 \\ x \ge -5/3 \end{cases}$

Поскольку $-25/21 \approx -1.19$ и $-5/3 \approx -1.67$, то $-25/21 > -5/3$. Следовательно, общее решение системы неравенств: $x \ge -25/21$.

ОДЗ: $x \in [-25/21, +\infty)$.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$:

$(\sqrt{21x+25})^2 = (5+3x)^2$

$21x + 25 = 25 + 30x + 9x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$9x^2 + 30x - 21x + 25 - 25 = 0$

$9x^2 + 9x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки: $9x(x + 1) = 0$. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($x \in [-25/21, +\infty)$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 > -25/21$).
Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет ОДЗ ($-1 > -25/21$).
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-1; 0$.

4) $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$

Дано: Уравнение $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

Найти: $x$.

Решение:

Квадратный корень уже уединен. Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 121-12x \ge 0 \\ 11-3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -12x \ge -121 \\ -3x \ge -11 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 121/12 \\ x \le 11/3 \end{cases}$

Сравним дроби $121/12 \approx 10.08$ и $11/3 \approx 3.67$. Так как $11/3 < 121/12$, система неравенств эквивалентна одному более сильному неравенству $x \le 11/3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 11/3]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{121-12x})^2 = (11 - 3x)^2$

$121 - 12x = 121 - 66x + 9x^2$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$9x^2 - 66x + 12x + 121 - 121 = 0$

$9x^2 - 54x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $9x$: $9x(x - 6) = 0$. Отсюда находим два возможных корня:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \in (-\infty, 11/3]$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 11/3$.
Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию, так как $6 > 11/3$. Следовательно, $x=6$ — посторонний корень.

Ответ: $0$.

325. 1) $\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x+2};$

2) $\sqrt[3]{x^3+x+1}=x,$

3) $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-2}};$

4) $x+2=\sqrt{(3x+4)(x+1)}.$

1) $\sqrt{x^2-2} = \sqrt{3x+2}$
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2-2 = 3x+2 \\ 3x+2 \ge 0 \end{cases} $
Также необходимо, чтобы $x^2-2 \ge 0$, но это условие автоматически выполняется, если $x^2-2 = 3x+2$ и $3x+2 \ge 0$.
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $3x+2 \ge 0$ для каждого корня.
Для $x_1 = 4$:
$3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \ge 0$. Корень $x=4$ подходит.
Для $x_2 = -1$:
$3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 < 0$. Корень $x=-1$ не подходит.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 4.

2) $\sqrt[3]{x^3+x+1} = x$
Решение:
Так как корень кубический, область определения — все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x^3+x+1})^3 = x^3$
$x^3+x+1 = x^3$
$x+1=0$
$x=-1$
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{(-1)^3+(-1)+1} = \sqrt[3]{-1-1+1} = \sqrt[3]{-1} = -1$
$-1 = -1$. Равенство верное.
Ответ: -1.

3) $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$
Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 > 0 \\ x-1 \ne 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x > 2 \\ x \ne 1 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
В области допустимых значений можно преобразовать уравнение, умножив обе части на $(x-1)\sqrt{x-2}$ (знаменатели не равны нулю):
$\sqrt{3x-5} \cdot \sqrt{x-2} = x-1$
$\sqrt{(3x-5)(x-2)} = x-1$
Поскольку в ОДЗ $x>2$, то $x-1 > 1 > 0$, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(3x-5)(x-2) = (x-1)^2$
$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$
$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$
$2x^2 - 9x + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x>2$):
$x_1 = 3$: $3 > 2$. Корень подходит.
$x_2 = 1.5$: $1.5 \ngtr 2$. Корень не подходит.
Ответ: 3.

4) $x+2 = \sqrt{(3x+4)(x+1)}$
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (x+2)^2 = (3x+4)(x+1) \\ x+2 \ge 0 \end{cases} $
Условие $(3x+4)(x+1) \ge 0$ выполняется автоматически, так как левая часть равна квадрату $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.
Решим первое уравнение системы:
$x^2+4x+4 = 3x^2+3x+4x+4$
$x^2+4x+4 = 3x^2+7x+4$
$2x^2+3x = 0$
$x(2x+3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $x+2 \ge 0$ для каждого корня.
Для $x_1 = 0$:
$0+2 = 2 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.
Для $x_2 = -1.5$:
$-1.5 + 2 = 0.5 \ge 0$. Корень $x=-1.5$ подходит.
Оба корня удовлетворяют условиям.
Ответ: -1.5; 0.

326.1) $ \frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x+3}} $;

2) $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $;

3) $ \sqrt{x-9}+2 = \sqrt{x-1} $;

4) $ \sqrt{x+5} = 5-\sqrt{x-10} $.

1)

Решение:

Дано уравнение $\frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $9-x \ne 0$, то есть $x \ne 9$. Знаменатель $\sqrt{x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{x} \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 9) \cup (9, +\infty)$.

Разложим знаменатель левой части по формуле разности квадратов: $9-x = (3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{x+1}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}$

Поскольку $\sqrt{x}+3 \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{x+1}{3-\sqrt{x}} = 1$

Отсюда $x+1 = 3-\sqrt{x}$, при условии что $3-\sqrt{x} \ne 0$, что совпадает с условием $x \ne 9$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x + \sqrt{x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение становится квадратным относительно $t$:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной: $\sqrt{x} = t_1 = 1$.

Возводим обе части в квадрат: $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

2)

Решение:

Дано уравнение $\frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $2+\sqrt{x}$ всегда положителен.

Разложим числитель левой части по формуле разности квадратов: $4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x$

Сокращаем дробь на $(2+\sqrt{x})$:

$2-\sqrt{x} = 8-x$

Перегруппируем члены, чтобы выделить $\sqrt{x}$:

$x - 6 = \sqrt{x}$

Для того чтобы можно было возвести обе части в квадрат, необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной (так как правая часть $\sqrt{x} \ge 0$). То есть $x-6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$. Это условие более сильное, чем ОДЗ ($x \ge 0$).

Возводим обе части уравнения $x-6=\sqrt{x}$ в квадрат:

$(x-6)^2 = x$

$x^2 - 12x + 36 = x$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Проверяем корни по условию $x \ge 6$.

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 6$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.

Выполним проверку для $x=9$ в исходном уравнении: $\frac{4-9}{2+\sqrt{9}} = \frac{-5}{2+3} = -1$. Правая часть: $8-9=-1$. Равенство верно.

Ответ: $9$.

3)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{x-9} + 2 = \sqrt{x-1}$.

ОДЗ: $x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Объединяя условия, получаем $x \ge 9$.

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-9} + 2)^2 = (\sqrt{x-1})^2$

$(x-9) + 4\sqrt{x-9} + 4 = x-1$

$x-5 + 4\sqrt{x-9} = x-1$

Упростим, вычитая $x$ из обеих частей:

$-5 + 4\sqrt{x-9} = -1$

$4\sqrt{x-9} = 4$

$\sqrt{x-9} = 1$

Возводим обе части в квадрат еще раз:

$x-9 = 1$

$x=10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 \ge 9$).

Проверка: $\sqrt{10-9} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1+2=3$. Правая часть: $\sqrt{10-1} = \sqrt{9} = 3$. Равенство верно.

Ответ: $10$.

4)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{x+5} = 5 - \sqrt{x-10}$.

ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$ и $x-10 \ge 0 \implies x \ge 10$. Объединяя условия, получаем $x \ge 10$.

Для возведения в квадрат обе части уравнения должны быть неотрицательны. Левая часть $\sqrt{x+5} \ge 0$. Правая часть также должна быть неотрицательной: $5 - \sqrt{x-10} \ge 0$.

$5 \ge \sqrt{x-10}$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$25 \ge x-10$

$35 \ge x$ или $x \le 35$.

Таким образом, корень должен лежать в диапазоне $10 \le x \le 35$.

Теперь возводим обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5})^2 = (5 - \sqrt{x-10})^2$

$x+5 = 25 - 10\sqrt{x-10} + (x-10)$

$x+5 = 15 + x - 10\sqrt{x-10}$

Вычитаем $x$ из обеих частей:

$5 = 15 - 10\sqrt{x-10}$

$10\sqrt{x-10} = 15 - 5$

$10\sqrt{x-10} = 10$

$\sqrt{x-10} = 1$

Возводим в квадрат:

$x-10 = 1$

$x = 11$

Корень $x=11$ удовлетворяет условию $10 \le x \le 35$.

Проверка: $\sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $5 - \sqrt{11-10} = 5 - \sqrt{1} = 5-1=4$. Равенство верно.

Ответ: $11$.

327.1)

1) $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x;$

2) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x;$

3) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3;$

4) $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin x \le 1$.

2. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos x \ge 0$. Это соответствует углам $x$ в I и IV четвертях, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{1 - \sin x})^2 = (\cos x)^2$

$1 - \sin x = \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$

Перенесём все члены в левую часть:

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\sin x = 0$

б) $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$

Рассмотрим каждый случай и проверим соответствие условию ОДЗ ($\cos x \ge 0$).

а) Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k$ чётном, то есть $k=2n$, имеем $x=2\pi n$. Тогда $\cos(2\pi n) = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.

При $k$ нечётном, то есть $k=2n+1$, имеем $x=(2n+1)\pi$. Тогда $\cos((2n+1)\pi) = -1 < 0$. Эти корни являются посторонними.

Таким образом, из этого случая получаем решения $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ:
1. $1 - \cos x \ge 0$, что верно для всех $x$, так как $\cos x \le 1$.
2. $\sin x \ge 0$, так как значение корня неотрицательно. Это соответствует углам $x$ в I и II четвертях: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Возведём обе части в квадрат:

$1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x - \cos x = 0$

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

б) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$

Проверим решения с учётом ОДЗ ($\sin x \ge 0$).

а) Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 \ge 0$. Корни подходят.

При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1 < 0$. Корни посторонние.

Получаем решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие: $\sin(2\pi n) = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$.

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными.
$\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$.
Оба неравенства выполняются, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковый знак, и знаменатели не равны нулю.
1. $x > 0$ и $x+1 > 0 \Rightarrow x > 0$.
2. $x < 0$ и $x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратны. Сделаем замену.
Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Так как $x \ne 0$, то $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 2 = 3y$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1=1, y_2=2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $y>0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y = 1$.

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = x+1 \Rightarrow 0 = 1$.
Получили неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y = 2$.

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2 \Rightarrow \frac{x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = 4(x+1) \Rightarrow x = 4x + 4 \Rightarrow -3x = 4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$.

Проверим, принадлежит ли корень $x = -4/3$ ОДЗ.
$-4/3 \approx -1.33$, что меньше $-1$. Корень принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, значит, является решением.

Ответ: $x = -4/3$.

4)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{x-1} \ge 0$. Также $x \ne 0, x \ne 1$.
Неравенства выполняются, когда $x-1$ и $x$ одного знака.
1. $x-1 > 0$ и $x > 0 \Rightarrow x > 1$.
2. $x-1 < 0$ и $x < 0 \Rightarrow x < 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$. Так как $x \ne 1$, то $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{3}{y} = 2$

Умножим на $y$ ($y \ne 0$):

$y^2 - 3 = 2y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=3, y_2=-1$.

Так как по определению замены $y > 0$, корень $y = -1$ является посторонним. Остаётся $y=3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}} = 3$

Возведём в квадрат:

$\frac{x-1}{x} = 9$

$x-1 = 9x$

$-1 = 8x$

$x = -\frac{1}{8}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -1/8$ ОДЗ.
$-1/8 = -0.125$, что меньше $0$. Корень принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, значит, является решением.

Ответ: $x = -1/8$.

Решите показательные уравнения (328 – 333):

328.1) $\sqrt{3^x} = 27^{-\frac{2}{3}}$;

2) $\sqrt{5^x} = 25^{-\frac{3}{2}}$;

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{-\frac{3}{4}}$;

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-0,5}$.

1)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3^x} = 27^{-\frac{2}{3}}$. Чтобы его решить, необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае, это основание 3.
Левая часть уравнения: $\sqrt{3^x}$ можно представить как степень с рациональным показателем: $(3^x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть уравнения: число 27 является степенью тройки: $27 = 3^3$. Тогда $27^{-\frac{2}{3}} = (3^3)^{-\frac{2}{3}}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 3^{-2}$.
Теперь уравнение выглядит так: $3^{\frac{x}{2}} = 3^{-2}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $\frac{x}{2} = -2$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = -4$.
Ответ: -4.

2)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{5^x} = 25^{-\frac{3}{2}}$. Приведем обе части к основанию 5.
Левая часть: $\sqrt{5^x} = 5^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть: так как $25 = 5^2$, то $25^{-\frac{3}{2}} = (5^2)^{-\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 5^{-3}$.
Получаем уравнение: $5^{\frac{x}{2}} = 5^{-3}$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = -3$.
Отсюда $x = -6$.
Ответ: -6.

3)

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{-\frac{3}{4}}$. Приведем все его части к основанию 2.
Преобразуем каждый множитель: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$\sqrt{2^{3x-1}} = (2^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3x-1}{2}}$.
$16 = 2^4$, следовательно $16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-3}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $2^{-2} \cdot 2^{\frac{3x-1}{2}} = 2^{-3}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 2^{-3}$.
Теперь приравниваем показатели: $-2 + \frac{3x-1}{2} = -3$.
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$\frac{3x-1}{2} = -3 + 2$
$\frac{3x-1}{2} = -1$
$3x - 1 = -2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4)

Рассмотрим уравнение $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = (\frac{1}{9})^{-0.5}$. Приведем все части к основанию 3.
Преобразуем левую часть уравнения: $27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$.
$\sqrt{9^{x+1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}} = \sqrt{3^{2(x+1)}} = (3^{2(x+1)})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2(x+1)}{2}} = 3^{x+1}$.
Левая часть примет вид: $3^{-3} \cdot 3^{x+1} = 3^{-3+x+1} = 3^{x-2}$.
Преобразуем правую часть уравнения: $(\frac{1}{9})^{-0.5} = (9^{-1})^{-0.5} = 9^{0.5} = \sqrt{9} = 3$. Это можно также записать через основание 3: $(3^{-2})^{-0.5} = 3^{(-2) \cdot (-0.5)} = 3^1 = 3$.
Теперь уравнение имеет вид: $3^{x-2} = 3^1$.
Приравниваем показатели степеней: $x-2 = 1$.
Отсюда $x = 3$.
Ответ: 3.

329.1)

1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$; 2) $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$;

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$; 4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0,5x}$.

1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$

Решение

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

Представим правую часть уравнения также в виде степени с основанием 3: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot 3^{\cos x} = 3^{3/2}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:

$3^{2 + \cos x} = 3^{3/2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \cos x = \frac{3}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\cos x$:

$\cos x = \frac{3}{2} - 2$

$\cos x = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1/2$, значение $\arccos(-1/2) = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение уравнения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$

Решение

Приведем все члены уравнения к основанию 2.

Представим число 4 как $2^2$.

Представим $\sqrt{8}$ как степень с основанием 2: $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^2 \cdot 2^{\sin x} = 2^{3/2}$

Упростим левую часть, сложив показатели степеней:

$2^{2 + \sin x} = 2^{3/2}$

Приравняем показатели степеней:

$2 + \sin x = \frac{3}{2}$

Выразим $\sin x$:

$\sin x = \frac{3}{2} - 2$

$\sin x = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1/2$, значение $\arcsin(-1/2) = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$

Решение

Приведем все части уравнения к основанию 5.

$25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$.

$\sqrt{125^x} = \sqrt{(5^3)^x} = \sqrt{5^{3x}} = (5^{3x})^{1/2} = 5^{\frac{3x}{2}}$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$5^{-2} \cdot 5^{\frac{3x}{2}} = 5^x$

Упростим левую часть, сложив показатели:

$5^{-2 + \frac{3x}{2}} = 5^x$

Приравняем показатели степеней:

$-2 + \frac{3x}{2} = x$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$\frac{3x}{2} - x = 2$

$\frac{3x - 2x}{2} = 2$

$\frac{x}{2} = 2$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$

Решение

Приведем все части уравнения к основанию 6.

$216^{-1} = (6^3)^{-1} = 6^{-3}$.

$\sqrt{36^x} = \sqrt{(6^2)^x} = \sqrt{6^{2x}} = (6^{2x})^{1/2} = 6^{\frac{2x}{2}} = 6^x$.

Показатель в правой части $0.5x$ можно записать как $\frac{x}{2}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$6^{-3} \cdot 6^x = 6^{\frac{x}{2}}$

Сложим показатели степеней в левой части:

$6^{-3 + x} = 6^{\frac{x}{2}}$

Приравняем показатели:

$-3 + x = \frac{x}{2}$

Решим полученное уравнение:

$x - \frac{x}{2} = 3$

$\frac{2x - x}{2} = 3$

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 6$

Ответ: $x = 6$.