Страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

330.1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11;$

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21;$

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35;$

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11.$

1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11$

Решение

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x - 5 \cdot \frac{2^x}{2^4} = 11$

Поскольку $2^4 = 16$, получаем:

$2^x - 5 \cdot \frac{2^x}{16} = 11$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 - \frac{5}{16}\right) = 11$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - \frac{5}{16} = \frac{16}{16} - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

Подставим результат обратно в уравнение:

$2^x \cdot \frac{11}{16} = 11$

Разделим обе части уравнения на 11:

$\frac{2^x}{16} = 1$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$16 = 2^4$

Следовательно, $2^x = 2^4$.

Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5^x - 4 \cdot \frac{5^x}{5^2} = 21$

Поскольку $5^2 = 25$, получаем:

$5^x - 4 \cdot \frac{5^x}{25} = 21$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \left(1 - \frac{4}{25}\right) = 21$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

Подставим обратно в уравнение:

$5^x \cdot \frac{21}{25} = 21$

Разделим обе части на 21:

$\frac{5^x}{25} = 1$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5:

$25 = 5^2$

Следовательно, $5^x = 5^2$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35$

Решение

Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3 \cdot \frac{2^x}{2^1} + 2^x \cdot 2^4 = 35$

Поскольку $2^1 = 2$ и $2^4 = 16$, уравнение принимает вид:

$\frac{3}{2} \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x = 35$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{3}{2} + 16\right) = 35$

Вычислим выражение в скобках:

$\frac{3}{2} + 16 = \frac{3}{2} + \frac{32}{2} = \frac{35}{2}$

Подставим в уравнение:

$2^x \cdot \frac{35}{2} = 35$

Разделим обе части на 35:

$\frac{2^x}{2} = 1$

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, то $2^x = 2^1$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{6^x}{6^1} + 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 11$

Поскольку $6^1 = 6$ и $6^2 = 36$, уравнение принимает вид:

$\frac{6^x}{6} + \frac{5 \cdot 6^x}{36} = 11$

Вынесем $6^x$ за скобки:

$6^x \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{36}\right) = 11$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36}$

Подставим в уравнение:

$6^x \cdot \frac{11}{36} = 11$

Разделим обе части на 11:

$\frac{6^x}{36} = 1$

$6^x = 36$

Представим 36 как степень числа 6:

$36 = 6^2$

Следовательно, $6^x = 6^2$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

331. 1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341;$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361;$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15;$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49.$

1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойствами степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем каждый член уравнения:

$7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x$

$7^{x-2} = \frac{7^x}{7^2} = \frac{7^x}{49}$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$7 \cdot 7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{49} = 341$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \left(7 - \frac{2}{49}\right) = 341$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 - \frac{2}{49} = \frac{7 \cdot 49}{49} - \frac{2}{49} = \frac{343 - 2}{49} = \frac{341}{49}$

Теперь уравнение принимает вид:

$7^x \cdot \frac{341}{49} = 341$

Разделим обе части уравнения на $\frac{341}{49}$:

$7^x = 341 \cdot \frac{49}{341}$

$7^x = 49$

Так как $49 = 7^2$, то:

$7^x = 7^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

$11^{x+1} = 11^x \cdot 11^1 = 11 \cdot 11^x$

$11^{x-1} = \frac{11^x}{11^1} = \frac{11^x}{11}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot (11 \cdot 11^x) - 2 \cdot \frac{11^x}{11} = 361$

$33 \cdot 11^x - \frac{2}{11} \cdot 11^x = 361$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$11^x \left(33 - \frac{2}{11}\right) = 361$

Вычислим значение в скобках:

$33 - \frac{2}{11} = \frac{33 \cdot 11}{11} - \frac{2}{11} = \frac{363 - 2}{11} = \frac{361}{11}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$11^x \cdot \frac{361}{11} = 361$

Выразим $11^x$:

$11^x = 361 \cdot \frac{11}{361}$

$11^x = 11$

Поскольку $11 = 11^1$, получаем:

$11^x = 11^1$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15$

Преобразуем все слагаемые так, чтобы выделить множитель $2^x$:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

$2^{x-2} = \frac{2^x}{2^2} = \frac{1}{4} \cdot 2^x$

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{1}{8} \cdot 2^x$

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot 2^x + 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2^x + 5 \cdot \frac{1}{8} \cdot 2^x = 15$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 15$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 8 и сложим их:

$\frac{1 \cdot 4}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4 + 6 + 5}{8} = \frac{15}{8}$

Уравнение примет вид:

$2^x \cdot \frac{15}{8} = 15$

Найдем $2^x$:

$2^x = 15 \cdot \frac{8}{15}$

$2^x = 8$

Представим 8 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49$

Преобразуем члены уравнения, выделив множитель $3^x$:

$3^{x-2} = \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в уравнение:

$7 \cdot \frac{3^x}{9} - \frac{3^x}{3} + 5 \cdot 3^x = 49$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(\frac{7}{9} - \frac{1}{3} + 5\right) = 49$

Вычислим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю 9:

$\frac{7}{9} - \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{7 - 3 + 45}{9} = \frac{49}{9}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$3^x \cdot \frac{49}{9} = 49$

Выразим $3^x$:

$3^x = 49 \cdot \frac{9}{49}$

$3^x = 9$

Так как $9 = 3^2$, то:

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

332.

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x;$

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0;$

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0;$

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0.$

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x$
Решение
Перепишем уравнение, приведя все члены к основанию 2. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
$(2^x)^2 + 16 = 10 \cdot 2^x$
Перенесем все члены в левую часть:
$(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$
Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному уравнению с помощью замены переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y = 2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 10t + 16 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.
2. Если $t_2 = 8$, то $2^x = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x_2 = 3$.
Ответ: $x=1, x=3$.

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$
Решение
Приведем уравнение к одному основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
$(3^x)^2 - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 36t + 243 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 18}{2} = \frac{54}{2} = 27$
Оба корня положительны, поэтому они подходят.
Вернемся к замене:
1. $3^x = t_1 = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_1 = 2$.
2. $3^x = t_2 = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x_2 = 3$.
Ответ: $x=2, x=3$.

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$
Решение
Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$.
$(5^x)^2 - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - \frac{26}{5}t + 1 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5t^2 - 26t + 5 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $5^x = t_1 = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x_1 = -1$.
2. $5^x = t_2 = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_2 = 1$.
Ответ: $x=-1, x=1$.

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$
Решение
Представим $36^x$ как $(6^2)^x = (6^x)^2$.
$(6^x)^2 - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.
$t^2 - \frac{7}{36}t + \frac{1}{216} = 0$
Умножим обе части уравнения на 216, чтобы избавиться от дробей:
$216t^2 - 216 \cdot \frac{7}{36}t + 216 \cdot \frac{1}{216} = 0$
$216t^2 - 6 \cdot 7t + 1 = 0$
$216t^2 - 42t + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$
$t_2 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $6^x = t_1 = \frac{1}{36} \implies 6^x = 6^{-2} \implies x_1 = -2$.
2. $6^x = t_2 = \frac{1}{6} \implies 6^x = 6^{-1} \implies x_2 = -1$.
Ответ: $x=-2, x=-1$.

333.1)

$4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0;$

2)

$3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7;$

3)

$4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}};$

4)

$25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}.$

1)

Решение

Дано показательное уравнение $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0$.
Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$4^x \cdot 4^1 + \frac{4^1}{4^x} - 10 = 0$
$4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} - 10 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как основание степени $4 > 0$, то $t > 0$.
Получаем уравнение относительно $t$:
$4t + \frac{4}{t} - 10 = 0$
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$4t^2 + 4 - 10t = 0$
$4t^2 - 10t + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=1/2$) положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. Если $t = 2$, то $4^x = 2$.
$(2^2)^x = 2^1$
$2^{2x} = 2^1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
2. Если $t = \frac{1}{2}$, то $4^x = \frac{1}{2}$.
$(2^2)^x = 2^{-1}$
$2^{2x} = 2^{-1}$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = \frac{1}{2}; x = -\frac{1}{2}$.

2)

Решение

Дано показательное уравнение $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7$.
Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:
$3^1 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} = 7$
$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} = 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Получаем уравнение относительно $t$:
$3t - \frac{6}{t} = 7$
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$3t^2 - 6 = 7t$
$3t^2 - 7t - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Так как $t > 0$, корень $t_2 = -2/3$ является посторонним. Используем только $t_1 = 3$.
Вернемся к переменной $x$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3)

Решение

Дано иррационально-показательное уравнение $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 2:
$(2^2)^{\sqrt{x+3}} - 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}} - 32 = 0$
$(2^{\sqrt{x+3}})^2 - 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}} - 32 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x+3}}$. Так как $\sqrt{x+3} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x+3}} \ge 2^0 = 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 4t - 32 = 0$
Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Согласно условию $t \ge 1$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Используем только $t_1 = 8$.
Вернемся к переменной $x$:
$2^{\sqrt{x+3}} = 8$
$2^{\sqrt{x+3}} = 2^3$
$\sqrt{x+3} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = 3^2$
$x+3 = 9$
$x = 6$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $6 \ge -3$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 6$.

4)

Решение

Дано иррационально-показательное уравнение $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Приведем степени к основанию 5 и перенесем все члены в одну часть:
$(5^2)^{\sqrt{x+2}} - 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}} - 10 = 0$
$(5^{\sqrt{x+2}})^2 - 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}} - 10 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 5^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $t = 5^{\sqrt{x+2}} \ge 5^0 = 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 10 = 0$
Найдем корни:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Условию $t \ge 1$ удовлетворяет только $t_1 = 5$. Корень $t_2 = -2$ посторонний.
Выполним обратную замену:
$5^{\sqrt{x+2}} = 5$
$5^{\sqrt{x+2}} = 5^1$
$\sqrt{x+2} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x+2 = 1$
$x = -1$
Проверим корень по ОДЗ: $-1 \ge -2$. Условие выполняется.

Ответ: $x = -1$.

Решите логарифмические уравнения (334 – 339):

334. 1) $log_4 (x^2 - 5) = 1;$

2) $log_6 (x^2 - 2) = 1;$

3) $log_3 (4 + \sqrt{x}) = 2;$

4) $log_5 (\sqrt{x} + 1) = 2.$

1) $\log_4 (x^2 - 5) = 1$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 5 > 0$

$x^2 > 5$

$x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

Теперь решаем уравнение, используя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x^2 - 5 = 4^1$

$x^2 - 5 = 4$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, оба корня удовлетворяют условию: $3 > \sqrt{5}$ и $-3 < -\sqrt{5}$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) $\log_6 (x^2 - 2) = 1$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 2 > 0$

$x^2 > 2$

$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$x^2 - 2 = 6^1$

$x^2 - 2 = 6$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Корень $2\sqrt{2}$ больше $\sqrt{2}$, а корень $-2\sqrt{2}$ меньше $-\sqrt{2}$, следовательно, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -2\sqrt{2}, x = 2\sqrt{2}$.

3) $\log_3 (4 + \sqrt{x}) = 2$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \geq 0$. Во-вторых, аргумент логарифма должен быть положительным: $4 + \sqrt{x} > 0$. Так как при $x \geq 0$ имеем $\sqrt{x} \geq 0$, то $4 + \sqrt{x} \geq 4 > 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \geq 0$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$4 + \sqrt{x} = 3^2$

$4 + \sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 5^2 = 25$.

Корень $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \geq 0$).

Ответ: $x = 25$.

4) $\log_5 (\sqrt{x} + 1) = 2$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \geq 0$. Аргумент логарифма $\sqrt{x} + 1$ при $x \geq 0$ всегда положителен ($\sqrt{x} + 1 \geq 1 > 0$). Следовательно, ОДЗ: $x \geq 0$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$\sqrt{x} + 1 = 5^2$

$\sqrt{x} + 1 = 25$

$\sqrt{x} = 24$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 24^2 = 576$.

Корень $x=576$ удовлетворяет ОДЗ ($576 \geq 0$).

Ответ: $x = 576$.

335.1)

1) $log_5 (2x + 3) + log_5 (4 - x) = 1;$

2) $log_7 (3x - 17) - log_7 (x + 1) = 0;$

3) $log_2 (2x - 1) + log_2 (x + 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{4}} (4x + 5) = log_{\frac{1}{4}} (5x + 2).$

1) $\log_5(2x + 3) + \log_5(4 - x) = 1$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > -3 \\ x < 4 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1.5 \\ x < 4 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5; 4)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_5((2x + 3)(4 - x)) = 1$

По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:
$(2x + 3)(4 - x) = 5^1$
$8x - 2x^2 + 12 - 3x = 5$
$-2x^2 + 5x + 12 - 5 = 0$
$-2x^2 + 5x + 7 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ $x \in (-1.5; 4)$.
$x_1 = 3.5$: $3.5 \in (-1.5; 4)$ — корень подходит.
$x_2 = -1$: $-1 \in (-1.5; 4)$ — корень подходит.

Ответ: -1; 3.5.

2) $\log_7(3x - 17) - \log_7(x + 1) = 0$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 17 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > 17 \\ x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{17}{3} \\ x > -1 \end{cases}$
Так как $\frac{17}{3} \approx 5.67$, то ОДЗ: $x > \frac{17}{3}$.

Перенесем второй логарифм в правую часть:
$\log_7(3x - 17) = \log_7(x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, то можем приравнять их аргументы:
$3x - 17 = x + 1$
$3x - x = 1 + 17$
$2x = 18$
$x = 9$

Проверим корень на принадлежность ОДЗ $x > \frac{17}{3}$.
$x=9$: $9 > \frac{17}{3}$ (т.к. $9 > 5.67$) — корень подходит.

Ответ: 9.

3) $\log_2(2x - 1) + \log_2(x + 3) = 2$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 1 \\ x > -3 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 0.5 \\ x > -3 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_2((2x - 1)(x + 3)) = 2$

По определению логарифма:
$(2x - 1)(x + 3) = 2^2$
$2x^2 + 6x - x - 3 = 4$
$2x^2 + 5x - 3 - 4 = 0$
$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x > 0.5$.
$x_1 = 1$: $1 > 0.5$ — корень подходит.
$x_2 = -3.5$: $-3.5 \ngtr 0.5$ — корень не подходит (посторонний).

Ответ: 1.

4) $\log_{\frac{1}{4}}(4x + 5) = \log_{\frac{1}{4}}(5x + 2)$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 5 > 0 \\ 5x + 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -5 \\ 5x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{5}{4} \\ x > -\frac{2}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1.25 \\ x > -0.4 \end{cases}$
ОДЗ: $x > -0.4$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x + 5 = 5x + 2$
$5 - 2 = 5x - 4x$
$x = 3$

Проверим корень на принадлежность ОДЗ $x > -0.4$.
$x=3$: $3 > -0.4$ — корень подходит.

Ответ: 3.

336. 1) $\log_3 (x+1) - \log_3 (x-1) = 1$;

2) $\log_7 (x^2+6x) = 1$;

3) $\log_2 (x^2-x) = 1$;

4) $\log_4 (7x+4) - \log_4 (2x-1) = 1$.

1)

Дано:

$\log_3(x+1) - \log_3(x-1) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$.

$\log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 1$

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$\frac{x+1}{x-1} = 3^1$

$\frac{x+1}{x-1} = 3$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на $(x-1)$, так как из ОДЗ следует, что $x-1 \neq 0$:

$x+1 = 3(x-1)$

$x+1 = 3x - 3$

$1+3 = 3x-x$

$4 = 2x$

$x = 2$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $2 > 1$, корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2

2)

Дано:

$\log_7(x^2 + 6x) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$x^2 + 6x > 0$

$x(x+6) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$.

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$x^2 + 6x = 7^1$

$x^2 + 6x = 7$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = -7$

Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ принадлежит интервалу $(0, +\infty)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -7$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -7; 1

3)

Дано:

$\log_2(x^2 - x) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x-1) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$x^2 - x = 2^1$

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 2

4)

Дано:

$\log_4(7x+4) - \log_4(2x-1) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} 7x+4 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -4 \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4/7 \\ x > 1/2 \end{cases}$.

Так как $1/2 > -4/7$, то ОДЗ: $x > 1/2$, или $x \in (1/2, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$.

$\log_4\left(\frac{7x+4}{2x-1}\right) = 1$

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$\frac{7x+4}{2x-1} = 4^1$

$\frac{7x+4}{2x-1} = 4$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на $(2x-1)$, так как из ОДЗ следует, что $2x-1 \neq 0$:

$7x+4 = 4(2x-1)$

$7x+4 = 8x - 4$

$4+4 = 8x-7x$

$8 = x$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $8 > 1/2$, корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8

337.1) $\log^2_{\frac{1}{2}} x + 2 \log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0;$

2) $2 \log_3(x - 1) = \log_3(1,5x + 1);$

3) $\log_2(x^2 + 4x + 1) = \log_2(6x + 2) - 1;$

4) $\log_3(3 - x) - 2 \log_3 2 = 1 - \log_3 (4 - x).$

1) $log_{1/2}^2 x + 2 log_{1/2} x - 3 = 0$

Решение:
Данное уравнение является квадратным относительно $log_{1/2} x$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{1/2} x$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
$t_1 + t_2 = -2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1. $log_{1/2} x = t_1 = 1$
$x = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
2. $log_{1/2} x = t_2 = -3$
$x = (\frac{1}{2})^{-3} = (2^{-1})^{-3} = 2^3 = 8$
Оба корня, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 8$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $x = 8$.

2) $2 log_3(x - 1) = log_3(1,5x + 1)$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 1,5x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ 1,5x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{1}{1,5} \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \cdot log_a b = log_a (b^n)$:
$log_3((x - 1)^2) = log_3(1,5x + 1)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(x - 1)^2 = 1,5x + 1$
$x^2 - 2x + 1 = 1,5x + 1$
$x^2 - 2x - 1,5x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 3,5x = 0$
$x(x - 3,5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 1$.
$x_2 = 3,5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3,5 > 1$.
Ответ: $x = 3,5$.

3) $log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - 1$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Неравенство $x^2 + 4x + 1 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $6x + 2 > 0 \implies 6x > -2 \implies x > -\frac{1}{3}$.
Найдем пересечение решений: так как $-2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1,73 = -0,27$, а $-\frac{1}{3} \approx -0,33$, то условие $x > -2 + \sqrt{3}$ является более строгим.
ОДЗ: $x > -2 + \sqrt{3}$.
Преобразуем исходное уравнение. Представим $1$ как $log_2 2$:
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - log_2 2$
Используя свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(\frac{6x + 2}{2})$
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(3x + 1)$
Приравниваем аргументы:
$x^2 + 4x + 1 = 3x + 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -2 + \sqrt{3} \approx -0,27$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 > -0,27$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 \ngtr -0,27$.
Ответ: $x = 0$.

4) $log_3(3 - x) - 2 log_3 2 = 1 - log_3(4 - x)$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x < 3 \\ x < 4 \end{cases}$
ОДЗ: $x < 3$.
Сгруппируем члены с логарифмами в одной части уравнения. Представим $1$ как $log_3 3$:
$log_3(3 - x) + log_3(4 - x) = 1 + 2 log_3 2$
Применим свойства логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$ и $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$.
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3(2^2)$
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 4$
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3(3 \cdot 4)$
$log_3(12 - 4x - 3x + x^2) = log_3 12$
$log_3(x^2 - 7x + 12) = log_3 12$
Приравниваем аргументы:
$x^2 - 7x + 12 = 12$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 3$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 3$.
$x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \not< 3$.
Ответ: $x = 0$.

338. 1) $\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1;$

2) $\frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1.$

1)

Дано:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1 $$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$$ \begin{cases} x^2 - 5x + 2 > 0 \\ 6 - 5x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0 \end{cases} $$

1. Решим неравенство $x^2 - 5x + 2 > 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

2. Решим неравенство $6 - 5x > 0$.
$6 > 5x$, откуда $x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$.

3. Решим условие $\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0$.
Это означает, что $6 - 5x \neq (\frac{1}{2})^0$, то есть $6 - 5x \neq 1$.
Отсюда $5x \neq 5$, и $x \neq 1$.

Найдем пересечение всех условий. Учитывая, что $\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 - 4.12}{2} \approx 0.44$, а $\frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 + 4.12}{2} \approx 4.56$, пересечение условий $x < 1.2$ и $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$ дает нам интервал $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$. Условие $x \neq 1$ выполняется, так как $1$ не входит в этот интервал.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Теперь решим само уравнение. В области допустимых значений можно умножить обе части на знаменатель:
$$ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2) = \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) $$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, можно приравнять их аргументы:
$$ x^2 - 5x + 2 = 6 - 5x $$$$ x^2 + 2 - 6 = 0 $$$$ x^2 - 4 = 0 $$$$ (x-2)(x+2) = 0 $$Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x < \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.44$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 0.44$.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < 0.44$.

Ответ: $x = -2$.

2)

Дано:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1 $$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

$$ \begin{cases} 3x + 2x^2 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0 \end{cases} $$

1. Решим неравенство $2x^2 + 3x > 0$, или $x(2x+3) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x=0$ и $x=-1.5$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (0, +\infty)$.

2. Решим неравенство $6x + 2 > 0$.
$6x > -2$, откуда $x > -\frac{2}{6}$ или $x > -\frac{1}{3}$.

3. Решим условие $\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0$.
$6x + 2 \neq (\frac{1}{3})^0 \implies 6x + 2 \neq 1 \implies 6x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{6}$.

Объединяя все условия, найдем пересечение множеств $x \in (-\infty, -1.5) \cup (0, +\infty)$ и $x > -\frac{1}{3}$. Это дает нам интервал $(0, +\infty)$. На этом интервале условие $x \neq -\frac{1}{6}$ выполняется автоматически.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Решим уравнение в найденной области:
$$ \log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2) = \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) $$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$$ 2x^2 + 3x = 6x + 2 $$$$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
$x_2 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = -0.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-0.5 < 0$.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 0$.

Ответ: $x = 2$.

339.

1) $\log_3 (2^x - 1) = 1 - \log_3 (2^x - 3);$

2) $\log_2 (3^x - 1) = 1 - \log_2 (3^x - 2).$

1) Дано:
Уравнение $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$.
Найти:
$x$.
Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2^x - 1 > 0 \\ 2^x - 3 > 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} 2^x > 1 \\ 2^x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 2^0 \\ 2^x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \log_2(3) \end{cases}$
Поскольку $\log_2(3) > \log_2(2) = 1$, то общее решение системы неравенств (ОДЗ) есть $x > \log_2(3)$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Перенесем член с логарифмом из правой части в левую:
$\log_3(2^x - 1) + \log_3(2^x - 3) = 1$
Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$:
$\log_3((2^x - 1)(2^x - 3)) = 1$
По определению логарифма, если $\log_a B = C$, то $B = a^C$:
$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3^1$
$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = 2^x$.
Из ОДЗ $x > \log_2(3)$ следует, что $t = 2^x > 2^{\log_2(3)} = 3$. Таким образом, $t > 3$.
Подставляем $t$ в уравнение:
$(t - 1)(t - 3) = 3$
Раскроем скобки:
$t^2 - 3t - t + 3 = 3$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 4$.

Проверим эти значения на соответствие условию $t > 3$:
$t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 3$, поэтому это посторонний корень.
$t_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Выполним обратную замену для $t = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_2(3)$).
Нужно сравнить $2$ и $\log_2(3)$. Так как функция $y = \log_2(z)$ возрастающая, сравнение $2 > \log_2(3)$ эквивалентно сравнению $2^2 > 3$, то есть $4 > 3$. Неравенство верное, значит корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

2) Дано:
Уравнение $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.
Найти:
$x$.
Решение:
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 3^x - 1 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 3^x > 1 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 3^0 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \log_3(2) \end{cases}$
Поскольку $\log_3(2) > 0$ (так как $2 > 1$), то ОДЗ: $x > \log_3(2)$.

Преобразуем уравнение, перенеся логарифм в левую часть:
$\log_2(3^x - 1) + \log_2(3^x - 2) = 1$
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_2((3^x - 1)(3^x - 2)) = 1$
Используя определение логарифма:
$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2^1$
$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2$

Введем замену. Пусть $y = 3^x$.
Из ОДЗ $x > \log_3(2)$ следует, что $y = 3^x > 3^{\log_3(2)} = 2$. Таким образом, $y > 2$.
Уравнение с новой переменной:
$(y - 1)(y - 2) = 2$
Раскроем скобки:
$y^2 - 2y - y + 2 = 2$
$y^2 - 3y = 0$
$y(y - 3) = 0$
Корни: $y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие условию $y > 2$:
$y_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 2$.
$y_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.

Выполним обратную замену для $y = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ ($x > \log_3(2)$).
Сравним $1$ и $\log_3(2)$. Так как функция $y = \log_3(z)$ возрастающая, сравнение $1 > \log_3(2)$ эквивалентно сравнению $3^1 > 2$, то есть $3 > 2$. Неравенство верное, корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

Решите системы уравнений (340 – 342):

340. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases}$

1) Решение
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_2(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 2^1$
$xy = 2$
Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{2}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5$
$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.
$t + \frac{4}{t} = 5$
Умножим уравнение на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.
Вернемся к переменной $x$:
1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 1$. Тогда $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2$.
2. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 2$. Тогда $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

2) Решение
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:
$\log_2\left(\frac{x}{y}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x}{y} = 2^1$
$x = 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(2y)^2 - y^2 = 12$
$4y^2 - y^2 = 12$
$3y^2 = 12$
$y^2 = 4$
$y = 2$ или $y = -2$.
Согласно ОДЗ ($y>0$), корень $y = -2$ является посторонним. Таким образом, $y=2$.
Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$.
Проверим найденное решение $(4; 2)$ на соответствие ОДЗ: $x=4 > 0$ и $y=2 > 0$. Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $(4; 2)$.

341.1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ lgx + lgy = lg12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

1)

Дано:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ \lg x + \lg y = \lg 12 \end{cases} $

Найти:

Найти $x$ и $y$.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения. Так как аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, имеем: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(xy) = \lg 12$

Из этого следует, что:

$xy = 12$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} $

Эту систему можно решить. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 24$

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24$

Левая часть является полным квадратом суммы:

$(x+y)^2 = 49$

Отсюда $x+y = \sqrt{49}$, что дает $x+y = 7$ или $x+y = -7$. Поскольку по ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма также должна быть положительной. Следовательно, мы выбираем $x+y=7$.

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} $

Эта система является прямой иллюстрацией теоремы Виета для квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим наши значения:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по формуле или подбором. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Это означает, что решениями системы являются пары $(x, y)$, где одна переменная равна 3, а другая 4.

Таким образом, мы имеем два решения:

1. $x=3$, $y=4$

2. $x=4$, $y=3$

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(3; 4)$, $(4; 3)$.

2)

Дано:

$ \begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Найти:

Найти $x$ и $y$.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_{0.5}(xy) = -1$

По определению логарифма, это эквивалентно:

$xy = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Теперь система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} xy = 2 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(3 + 2y)y = 2$

$3y + 2y^2 = 2$

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Согласно ОДЗ, $y > 0$. Поэтому корень $y_1 = -2$ не является решением системы. Остается только $y = 0.5$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = 3 + 2y$:

$x = 3 + 2 \cdot 0.5 = 3 + 1 = 4$

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Таким образом, единственное решение системы — пара $(4; 0.5)$.

Ответ: $(4; 0.5)$.