Номер 338, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

338. 1) $\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1;$

2) $\frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1.$

1)

Дано:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1 $$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$$ \begin{cases} x^2 - 5x + 2 > 0 \\ 6 - 5x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0 \end{cases} $$

1. Решим неравенство $x^2 - 5x + 2 > 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

2. Решим неравенство $6 - 5x > 0$.
$6 > 5x$, откуда $x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$.

3. Решим условие $\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0$.
Это означает, что $6 - 5x \neq (\frac{1}{2})^0$, то есть $6 - 5x \neq 1$.
Отсюда $5x \neq 5$, и $x \neq 1$.

Найдем пересечение всех условий. Учитывая, что $\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 - 4.12}{2} \approx 0.44$, а $\frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 + 4.12}{2} \approx 4.56$, пересечение условий $x < 1.2$ и $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$ дает нам интервал $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$. Условие $x \neq 1$ выполняется, так как $1$ не входит в этот интервал.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Теперь решим само уравнение. В области допустимых значений можно умножить обе части на знаменатель:
$$ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2) = \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) $$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, можно приравнять их аргументы:
$$ x^2 - 5x + 2 = 6 - 5x $$$$ x^2 + 2 - 6 = 0 $$$$ x^2 - 4 = 0 $$$$ (x-2)(x+2) = 0 $$Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x < \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.44$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 0.44$.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < 0.44$.

Ответ: $x = -2$.

2)

Дано:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1 $$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

$$ \begin{cases} 3x + 2x^2 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0 \end{cases} $$

1. Решим неравенство $2x^2 + 3x > 0$, или $x(2x+3) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x=0$ и $x=-1.5$.
Парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (0, +\infty)$.

2. Решим неравенство $6x + 2 > 0$.
$6x > -2$, откуда $x > -\frac{2}{6}$ или $x > -\frac{1}{3}$.

3. Решим условие $\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0$.
$6x + 2 \neq (\frac{1}{3})^0 \implies 6x + 2 \neq 1 \implies 6x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{6}$.

Объединяя все условия, найдем пересечение множеств $x \in (-\infty, -1.5) \cup (0, +\infty)$ и $x > -\frac{1}{3}$. Это дает нам интервал $(0, +\infty)$. На этом интервале условие $x \neq -\frac{1}{6}$ выполняется автоматически.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Решим уравнение в найденной области:
$$ \log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2) = \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) $$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$$ 2x^2 + 3x = 6x + 2 $$$$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
$x_2 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = -0.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-0.5 < 0$.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 0$.

Ответ: $x = 2$.