Номер 345, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

345. 1) $49^{0,5x^2 - 1} \leq \left(\frac{1}{7}\right)^{-2};$

2) $(0,16)^{0,5x^2 - 3} \geq (2,5)^{-3};$

3) $(0,04)^{3 - 0,5x^2} \geq 125;$

4) $9^{0,5x^2 - 2,5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}.$

1) $49^{0,5x^2 - 1} \le \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 7.

Преобразуем левую часть: $49 = 7^2$.

$49^{0,5x^2 - 1} = (7^2)^{0,5x^2 - 1} = 7^{2 \cdot (0,5x^2 - 1)} = 7^{x^2 - 2}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^{(-1) \cdot (-2)} = 7^2$.

Получаем неравенство:

$7^{x^2 - 2} \le 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 \le 2$

$x^2 - 4 \le 0$

$(x - 2)(x + 2) \le 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения $(x - 2)(x + 2)$ на каждом интервале.

При $x < -2$ (например, $x=-3$), выражение положительно: $(-3-2)(-3+2) > 0$.

При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$), выражение отрицательно: $(0-2)(0+2) < 0$.

При $x > 2$ (например, $x=3$), выражение положительно: $(3-2)(3+2) > 0$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.

2) $(0,16)^{0,5x^2 - 3} \ge (2,5)^{-3}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$ и $2,5 = \frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$.

Преобразуем левую часть:

$(0,16)^{0,5x^2 - 3} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^{0,5x^2 - 3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{2 \cdot (0,5x^2 - 3)} = \left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 6}$.

Преобразуем правую часть:

$(2,5)^{-3} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{(-1) \cdot (-3)} = \left(\frac{2}{5}\right)^3$.

Получаем неравенство:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 6} \ge \left(\frac{2}{5}\right)^3$.

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6 \le 3$

$x^2 - 9 \le 0$

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$, принадлежащих отрезку между корнями.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

3) $(0,04)^{3 - 0,5x^2} \ge 125$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Заметим, что $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$ и $125 = 5^3$.

Преобразуем левую часть:

$(0,04)^{3 - 0,5x^2} = (5^{-2})^{3 - 0,5x^2} = 5^{-2 \cdot (3 - 0,5x^2)} = 5^{-6 + x^2} = 5^{x^2 - 6}$.

Получаем неравенство:

$5^{x^2 - 6} \ge 5^3$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 6 \ge 3$

$x^2 - 9 \ge 0$

$(x - 3)(x + 3) \ge 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$ вне отрезка между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

4) $9^{0,5x^2 - 2,5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 3.

Преобразуем левую часть: $9 = 3^2$.

$9^{0,5x^2 - 2,5} = (3^2)^{0,5x^2 - 2,5} = 3^{2 \cdot (0,5x^2 - 2,5)} = 3^{x^2 - 5}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{(-1) \cdot (-4)} = 3^4$.

Получаем неравенство:

$3^{x^2 - 5} < 3^4$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 - 9 < 0$

$(x - 3)(x + 3) < 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$ на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.