Номер 347, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

347.1) $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x};$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} \ge 125^{3x};$

3) $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x};$

4) $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}.$

1) Решение:
Приведем все части неравенства $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x}$ к общему основанию $\frac{1}{3}$.
Представим числа $27$ и $\frac{1}{9}$ в виде степеней с основанием $\frac{1}{3}$:
$27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$
$\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{-4x}$
Используя свойства степеней $(a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn})$, упростим неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3 + 3x^2} \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-8x}$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$-3 + 3x^2 \ge -8x$
Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное неравенство:
$3x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=3 > 0$). Следовательно, неравенство $3x^2 + 8x - 3 \ge 0$ выполняется при значениях $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Решение:
Приведем все части неравенства $25 \cdot (5)^{-5x^2} \ge 125^{3x}$ к общему основанию $5$.
Представим числа $25$ и $125$ в виде степеней с основанием $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Подставим эти выражения в неравенство:
$5^2 \cdot 5^{-5x^2} \ge (5^3)^{3x}$
Упростим неравенство, используя свойства степеней:
$5^{2 - 5x^2} \ge 5^{9x}$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \ge 9x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \ge 0$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$5x^2 + 9x - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Графиком функции $y = 5x^2 + 9x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 + 9x - 2 \le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2; \frac{1}{5}]$.

3) Решение:
Приведем все части неравенства $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x}$ к общему основанию $\frac{1}{3}$.
Представим $\sqrt{243}$ и $\frac{1}{27}$ как степени $\frac{1}{3}$:
$243 = 3^5$, поэтому $\sqrt{243} = (3^5)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{2}}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$
Подставим в неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{-3x}$
Упростим:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2 - \frac{5}{2}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-9x}$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства:
$4x^2 - \frac{5}{2} < -9x$
$4x^2 + 9x - \frac{5}{2} < 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x^2 + 18x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ имеет ветви вверх ($a=8 > 0$). Неравенство $8x^2 + 18x - 5 < 0$ выполняется строго между корнями.
Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{1}{4})$.

4) Решение:
Приведем все части неравенства $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}$ к общему основанию $\frac{1}{2}$.
Представим $\sqrt{8}$ и $\frac{1}{4}$ как степени $\frac{1}{2}$:
$8 = 2^3$, поэтому $\sqrt{8} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
Подставим в неравенство:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{4x}$
Упростим:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2 - \frac{3}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^{8x}$
Основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, поэтому меняем знак неравенства:
$6x^2 - \frac{3}{2} > 8x$
$6x^2 - 8x - \frac{3}{2} > 0$
Умножим на 2:
$12x^2 - 16x - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $12x^2 - 16x - 3 = 0$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$
Парабола $y = 12x^2 - 16x - 3$ имеет ветви вверх ($a=12 > 0$). Неравенство $12x^2 - 16x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.