Номер 344, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

344. 1) $4^{x^2 - 1} > 64;$

2) $5^{6 - 2x^2} < \frac{1}{625};$

3) $27 \cdot 3^{x^2 - 3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1};$

4) $8 \cdot 2^{x^2 - 4x} > \frac{1}{2}.$

1) $4^{x^2-1} > 64$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 4.
Так как $64 = 4^3$, неравенство можно переписать в виде:
$4^{x^2-1} > 4^3$.

Поскольку основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 1 > 3$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 > 4$
$x^2 - 4 > 0$
$(x-2)(x+2) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$, находящемся вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.
Правая часть: $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.
Неравенство принимает вид:
$5^{6-2x^2} < 5^{-4}$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:
$6 - 2x^2 < -4$.

Решим полученное неравенство:
$10 < 2x^2$
$5 < x^2$
$x^2 - 5 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$.
Корни соответствующего уравнения равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней.
Решением является $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) $27 \cdot 3^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$

Преобразуем обе части неравенства, чтобы привести их к основанию 3.
Левая часть: $27 \cdot 3^{x^2-3x} = 3^3 \cdot 3^{x^2-3x} = 3^{3 + x^2 - 3x}$.
Правая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = (3^{-1})^{-1} = 3^1 = 3$.
Неравенство принимает вид:
$3^{x^2 - 3x + 3} < 3^1$.

Поскольку основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 3x + 3 < 1$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 3x + 2 < 0$.
Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
$(x - 1)(x - 2) < 0$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями.
Следовательно, решение: $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

4) $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}$

Приведем обе части неравенства к основанию 2.
Левая часть: $8 \cdot 2^{x^2-4x} = 2^3 \cdot 2^{x^2-4x} = 2^{3 + x^2 - 4x}$.
Правая часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид:
$2^{x^2 - 4x + 3} > 2^{-1}$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 4x + 3 > -1$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4x + 4 > 0$.
Левая часть является полным квадратом:
$(x - 2)^2 > 0$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=2$ и положительно при всех остальных значениях $x$.
Таким образом, неравенство справедливо для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.