Номер 339, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

339.

1) $\log_3 (2^x - 1) = 1 - \log_3 (2^x - 3);$

2) $\log_2 (3^x - 1) = 1 - \log_2 (3^x - 2).$

1) Дано:
Уравнение $\log_3(2^x - 1) = 1 - \log_3(2^x - 3)$.
Найти:
$x$.
Решение:
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2^x - 1 > 0 \\ 2^x - 3 > 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} 2^x > 1 \\ 2^x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 2^0 \\ 2^x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \log_2(3) \end{cases}$
Поскольку $\log_2(3) > \log_2(2) = 1$, то общее решение системы неравенств (ОДЗ) есть $x > \log_2(3)$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Перенесем член с логарифмом из правой части в левую:
$\log_3(2^x - 1) + \log_3(2^x - 3) = 1$
Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$:
$\log_3((2^x - 1)(2^x - 3)) = 1$
По определению логарифма, если $\log_a B = C$, то $B = a^C$:
$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3^1$
$(2^x - 1)(2^x - 3) = 3$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = 2^x$.
Из ОДЗ $x > \log_2(3)$ следует, что $t = 2^x > 2^{\log_2(3)} = 3$. Таким образом, $t > 3$.
Подставляем $t$ в уравнение:
$(t - 1)(t - 3) = 3$
Раскроем скобки:
$t^2 - 3t - t + 3 = 3$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 4$.

Проверим эти значения на соответствие условию $t > 3$:
$t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 3$, поэтому это посторонний корень.
$t_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Выполним обратную замену для $t = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_2(3)$).
Нужно сравнить $2$ и $\log_2(3)$. Так как функция $y = \log_2(z)$ возрастающая, сравнение $2 > \log_2(3)$ эквивалентно сравнению $2^2 > 3$, то есть $4 > 3$. Неравенство верное, значит корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

2) Дано:
Уравнение $\log_2(3^x - 1) = 1 - \log_2(3^x - 2)$.
Найти:
$x$.
Решение:
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 3^x - 1 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 3^x > 1 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 3^0 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > \log_3(2) \end{cases}$
Поскольку $\log_3(2) > 0$ (так как $2 > 1$), то ОДЗ: $x > \log_3(2)$.

Преобразуем уравнение, перенеся логарифм в левую часть:
$\log_2(3^x - 1) + \log_2(3^x - 2) = 1$
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_2((3^x - 1)(3^x - 2)) = 1$
Используя определение логарифма:
$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2^1$
$(3^x - 1)(3^x - 2) = 2$

Введем замену. Пусть $y = 3^x$.
Из ОДЗ $x > \log_3(2)$ следует, что $y = 3^x > 3^{\log_3(2)} = 2$. Таким образом, $y > 2$.
Уравнение с новой переменной:
$(y - 1)(y - 2) = 2$
Раскроем скобки:
$y^2 - 2y - y + 2 = 2$
$y^2 - 3y = 0$
$y(y - 3) = 0$
Корни: $y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Проверим корни на соответствие условию $y > 2$:
$y_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 2$.
$y_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.

Выполним обратную замену для $y = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ ($x > \log_3(2)$).
Сравним $1$ и $\log_3(2)$. Так как функция $y = \log_3(z)$ возрастающая, сравнение $1 > \log_3(2)$ эквивалентно сравнению $3^1 > 2$, то есть $3 > 2$. Неравенство верное, корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.