Номер 340, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упражнения для повторения курса 'Алгебра и начала анализа' для 11 класса. III. Уравнения и их системы - номер 340, страница 151.

Условие.

Решите системы уравнений (340 – 342):

340. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Решение
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_2(xy) = 1$
По определению логарифма:
$xy = 2^1$
$xy = 2$
Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = \frac{2}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5$
$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.
$t + \frac{4}{t} = 5$
Умножим уравнение на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.
Вернемся к переменной $x$:
1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 1$. Тогда $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2$.
2. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 2$. Тогда $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

2) Решение
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:
$\log_2\left(\frac{x}{y}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x}{y} = 2^1$
$x = 2y$
Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(2y)^2 - y^2 = 12$
$4y^2 - y^2 = 12$
$3y^2 = 12$
$y^2 = 4$
$y = 2$ или $y = -2$.
Согласно ОДЗ ($y>0$), корень $y = -2$ является посторонним. Таким образом, $y=2$.
Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$.
Проверим найденное решение $(4; 2)$ на соответствие ОДЗ: $x=4 > 0$ и $y=2 > 0$. Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $(4; 2)$.