Номер 334, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите логарифмические уравнения (334 – 339):

334. 1) $log_4 (x^2 - 5) = 1;$

2) $log_6 (x^2 - 2) = 1;$

3) $log_3 (4 + \sqrt{x}) = 2;$

4) $log_5 (\sqrt{x} + 1) = 2.$

1) $\log_4 (x^2 - 5) = 1$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 5 > 0$

$x^2 > 5$

$x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

Теперь решаем уравнение, используя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$x^2 - 5 = 4^1$

$x^2 - 5 = 4$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.24$, оба корня удовлетворяют условию: $3 > \sqrt{5}$ и $-3 < -\sqrt{5}$.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

2) $\log_6 (x^2 - 2) = 1$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 2 > 0$

$x^2 > 2$

$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$x^2 - 2 = 6^1$

$x^2 - 2 = 6$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ. Корень $2\sqrt{2}$ больше $\sqrt{2}$, а корень $-2\sqrt{2}$ меньше $-\sqrt{2}$, следовательно, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -2\sqrt{2}, x = 2\sqrt{2}$.

3) $\log_3 (4 + \sqrt{x}) = 2$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \geq 0$. Во-вторых, аргумент логарифма должен быть положительным: $4 + \sqrt{x} > 0$. Так как при $x \geq 0$ имеем $\sqrt{x} \geq 0$, то $4 + \sqrt{x} \geq 4 > 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \geq 0$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$4 + \sqrt{x} = 3^2$

$4 + \sqrt{x} = 9$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 5^2 = 25$.

Корень $x=25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \geq 0$).

Ответ: $x = 25$.

4) $\log_5 (\sqrt{x} + 1) = 2$

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \geq 0$. Аргумент логарифма $\sqrt{x} + 1$ при $x \geq 0$ всегда положителен ($\sqrt{x} + 1 \geq 1 > 0$). Следовательно, ОДЗ: $x \geq 0$.

Решаем уравнение по определению логарифма:

$\sqrt{x} + 1 = 5^2$

$\sqrt{x} + 1 = 25$

$\sqrt{x} = 24$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 24^2 = 576$.

Корень $x=576$ удовлетворяет ОДЗ ($576 \geq 0$).

Ответ: $x = 576$.