Номер 332, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

332.

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x;$

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0;$

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0;$

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0.$

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x$
Решение
Перепишем уравнение, приведя все члены к основанию 2. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
$(2^x)^2 + 16 = 10 \cdot 2^x$
Перенесем все члены в левую часть:
$(2^x)^2 - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$
Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному уравнению с помощью замены переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y = 2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 10t + 16 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1. Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2$. Отсюда $2^x = 2^1$, следовательно, $x_1 = 1$.
2. Если $t_2 = 8$, то $2^x = 8$. Отсюда $2^x = 2^3$, следовательно, $x_2 = 3$.
Ответ: $x=1, x=3$.

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$
Решение
Приведем уравнение к одному основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
$(3^x)^2 - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 36t + 243 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 18}{2} = \frac{54}{2} = 27$
Оба корня положительны, поэтому они подходят.
Вернемся к замене:
1. $3^x = t_1 = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_1 = 2$.
2. $3^x = t_2 = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x_2 = 3$.
Ответ: $x=2, x=3$.

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$
Решение
Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$.
$(5^x)^2 - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - \frac{26}{5}t + 1 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5t^2 - 26t + 5 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $5^x = t_1 = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x_1 = -1$.
2. $5^x = t_2 = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_2 = 1$.
Ответ: $x=-1, x=1$.

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$
Решение
Представим $36^x$ как $(6^2)^x = (6^x)^2$.
$(6^x)^2 - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.
$t^2 - \frac{7}{36}t + \frac{1}{216} = 0$
Умножим обе части уравнения на 216, чтобы избавиться от дробей:
$216t^2 - 216 \cdot \frac{7}{36}t + 216 \cdot \frac{1}{216} = 0$
$216t^2 - 6 \cdot 7t + 1 = 0$
$216t^2 - 42t + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$
$t_2 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. $6^x = t_1 = \frac{1}{36} \implies 6^x = 6^{-2} \implies x_1 = -2$.
2. $6^x = t_2 = \frac{1}{6} \implies 6^x = 6^{-1} \implies x_2 = -1$.
Ответ: $x=-2, x=-1$.