Номер 325, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упражнения для повторения курса 'Алгебра и начала анализа' для 11 класса. III. Уравнения и их системы - номер 325, страница 150.

Условие.

325. 1) $\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x+2};$

2) $\sqrt[3]{x^3+x+1}=x,$

3) $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-2}};$

4) $x+2=\sqrt{(3x+4)(x+1)}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

1) $\sqrt{x^2-2} = \sqrt{3x+2}$
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2-2 = 3x+2 \\ 3x+2 \ge 0 \end{cases} $
Также необходимо, чтобы $x^2-2 \ge 0$, но это условие автоматически выполняется, если $x^2-2 = 3x+2$ и $3x+2 \ge 0$.
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $3x+2 \ge 0$ для каждого корня.
Для $x_1 = 4$:
$3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \ge 0$. Корень $x=4$ подходит.
Для $x_2 = -1$:
$3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 < 0$. Корень $x=-1$ не подходит.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 4.

2) $\sqrt[3]{x^3+x+1} = x$
Решение:
Так как корень кубический, область определения — все действительные числа. Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x^3+x+1})^3 = x^3$
$x^3+x+1 = x^3$
$x+1=0$
$x=-1$
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{(-1)^3+(-1)+1} = \sqrt[3]{-1-1+1} = \sqrt[3]{-1} = -1$
$-1 = -1$. Равенство верное.
Ответ: -1.

3) $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$
Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 > 0 \\ x-1 \ne 0 \end{cases} $ $ \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x > 2 \\ x \ne 1 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.
В области допустимых значений можно преобразовать уравнение, умножив обе части на $(x-1)\sqrt{x-2}$ (знаменатели не равны нулю):
$\sqrt{3x-5} \cdot \sqrt{x-2} = x-1$
$\sqrt{(3x-5)(x-2)} = x-1$
Поскольку в ОДЗ $x>2$, то $x-1 > 1 > 0$, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(3x-5)(x-2) = (x-1)^2$
$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$
$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$
$2x^2 - 9x + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.
$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x>2$):
$x_1 = 3$: $3 > 2$. Корень подходит.
$x_2 = 1.5$: $1.5 \ngtr 2$. Корень не подходит.
Ответ: 3.

4) $x+2 = \sqrt{(3x+4)(x+1)}$
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (x+2)^2 = (3x+4)(x+1) \\ x+2 \ge 0 \end{cases} $
Условие $(3x+4)(x+1) \ge 0$ выполняется автоматически, так как левая часть равна квадрату $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.
Решим первое уравнение системы:
$x^2+4x+4 = 3x^2+3x+4x+4$
$x^2+4x+4 = 3x^2+7x+4$
$2x^2+3x = 0$
$x(2x+3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3/2 = -1.5$.
Теперь проверим выполнение второго условия системы $x+2 \ge 0$ для каждого корня.
Для $x_1 = 0$:
$0+2 = 2 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.
Для $x_2 = -1.5$:
$-1.5 + 2 = 0.5 \ge 0$. Корень $x=-1.5$ подходит.
Оба корня удовлетворяют условиям.
Ответ: -1.5; 0.