Номер 319, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

319. Докажите, что B — целое число, если:

1) $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$;

2) $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$;

3) $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$;

4) $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

1) Дано: $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Поскольку оба слагаемых под корнем положительны, то и их сумма $B$ будет положительным числом ($B > 0$). Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{(37 + 20\sqrt{3})(37 - 20\sqrt{3})} + (\sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

$B^2 = (37 + 20\sqrt{3}) + 2\sqrt{37^2 - (20\sqrt{3})^2} + (37 - 20\sqrt{3})$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 400 \cdot 3}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 1200}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{169}$

$B^2 = 74 + 2 \cdot 13$

$B^2 = 74 + 26 = 100$

Так как $B > 0$ и $B^2=100$, то $B = \sqrt{100} = 10$. Число 10 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=10$, что является целым числом.

2) Дано: $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Как и в предыдущем пункте, $B > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}})^2$

$B^2 = (55 + 14\sqrt{6}) + 2\sqrt{(55 + 14\sqrt{6})(55 - 14\sqrt{6})} + (55 - 14\sqrt{6})$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{55^2 - (14\sqrt{6})^2}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 196 \cdot 6}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 1176}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{1849}$

Так как $40^2=1600$ и $43^2=1849$, то $\sqrt{1849}=43$.

$B^2 = 110 + 2 \cdot 43$

$B^2 = 110 + 86 = 196$

Так как $B > 0$ и $B^2=196$, то $B = \sqrt{196} = 14$. Число 14 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=14$, что является целым числом.

3) Дано: $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$.

Пусть $x = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$ и $y = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$, тогда $B = x+y$.

$B^3 = (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$

Найдем значения $x^3+y^3$ и $xy$:

$x^3 + y^3 = (26 + 15\sqrt{3}) + (26 - 15\sqrt{3}) = 52$

$xy = \sqrt[3]{(26 + 15\sqrt{3})(26 - 15\sqrt{3})} = \sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} = \sqrt[3]{676 - 675} = \sqrt[3]{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для $B^3$, заменив $(x+y)$ на $B$:

$B^3 = 52 + 3 \cdot 1 \cdot B$

$B^3 - 3B - 52 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно B. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm13, \ldots$.

Проверим $B=4$: $4^3 - 3 \cdot 4 - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$.

Значит, $B=4$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $B^3 - 3B - 52$ на $(B-4)$. Получим $(B-4)(B^2+4B+13)=0$.

Для квадратного трехчлена $B^2+4B+13$ дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, других действительных корней у уравнения нет.

Следовательно, единственное действительное решение это $B=4$. Число 4 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=4$, что является целым числом.

4) Дано: $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Вычислим значение выражения B. Попробуем представить подкоренные выражения в виде точного куба, например, в виде $(a\sqrt{2} \pm b)^3$.

Раскроем скобки: $(a\sqrt{2} + b)^3 = (a\sqrt{2})^3 + 3(a\sqrt{2})^2 b + 3(a\sqrt{2})b^2 + b^3 = (2a^3+3ab^2)\sqrt{2} + (6a^2b+b^3)$.

Сравним полученное выражение с $29\sqrt{2} + 45$. Приравнивая коэффициенты при $\sqrt{2}$ и свободные члены, получим систему уравнений для целых $a$ и $b$:

$\begin{cases} 2a^3+3ab^2 = 29 \\ 6a^2b+b^3 = 45 \end{cases}$

Из первого уравнения вынесем $a$: $a(2a^2+3b^2)=29$. Поскольку 29 — простое число, и мы ищем целые решения, то $a$ может быть равно $\pm1$ или $\pm29$.

Пусть $a=1$. Тогда $2(1)^2+3b^2 = 29 \Rightarrow 2+3b^2=29 \Rightarrow 3b^2=27 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=\pm3$.

Проверим пару $a=1, b=3$ во втором уравнении: $6(1)^2(3)+(3)^3 = 18+27=45$. Равенство выполняется.

Следовательно, $29\sqrt{2} + 45 = (\sqrt{2}+3)^3$.

Аналогично можно показать, что $29\sqrt{2} - 45 = (\sqrt{2}-3)^3$.

Теперь подставим найденные выражения в исходную формулу для B:

$B = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-3)^3} + \sqrt[3]{(\sqrt{2}+3)^3}$

$B = (\sqrt{2}-3) + (\sqrt{2}+3)$

$B = 2\sqrt{2}$

Полученное значение $B=2\sqrt{2}$ является иррациональным числом ($2\sqrt{2} \approx 2.828$), а не целым. Следовательно, исходное утверждение "B — целое число" для данного выражения неверно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Например, если бы выражение имело вид $B = \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$, то, поскольку $45 + 29\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^3$ и $45 - 29\sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^3$, значение B было бы равно $B = (3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6$, что является целым числом.

Ответ: Для заданного выражения $B=2\sqrt{2}$, что не является целым числом. Утверждение задачи в данной формулировке неверно.