Страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

315.1) $\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x^{1,5}-4x}-\frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x^{1,5}+4x}\right):\frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}}$

2) $\left(\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}}-\frac{y^{1,5}}{y^2-25y}\right):\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$

1)

Дано:

$\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x^{1,5}-4x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x^{1,5}+4x}\right) : \frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Найти:

Упростить выражение.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ (из-за степеней $x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{1,5}$) и знаменатели не должны быть равны нулю.
$x^{1,5}-4x = x(x^{\frac{1}{2}}-4) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x^{\frac{1}{2}} \ne 4 \implies x \ne 16$.
$x^{1,5}+4x = x(x^{\frac{1}{2}}+4) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x^{\frac{1}{2}} \ne -4$ (всегда верно для $x > 0$).
Делитель не равен нулю: $x-16 \ne 0 \implies x \ne 16$.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \ne 16$.

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем знаменатели:
$x^{1,5}-4x = x \cdot x^{\frac{1}{2}}-4x = x(x^{\frac{1}{2}}-4)$
$x^{1,5}+4x = x \cdot x^{\frac{1}{2}}+4x = x(x^{\frac{1}{2}}+4)$
Выражение в скобках принимает вид:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}+4}{x(x^{\frac{1}{2}}-4)} - \frac{x^{\frac{1}{2}}-4}{x(x^{\frac{1}{2}}+4)}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x^{\frac{1}{2}}-4)(x^{\frac{1}{2}}+4) = x((\sqrt{x})^2 - 4^2) = x(x-16)$:
$\frac{(x^{\frac{1}{2}}+4)(x^{\frac{1}{2}}+4) - (x^{\frac{1}{2}}-4)(x^{\frac{1}{2}}-4)}{x(x-16)} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}+4)^2 - (x^{\frac{1}{2}}-4)^2}{x(x-16)}$

3. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(x^{\frac{1}{2}}+4)^2 - (x^{\frac{1}{2}}-4)^2 = \left((x^{\frac{1}{2}}+4) - (x^{\frac{1}{2}}-4)\right)\left((x^{\frac{1}{2}}+4) + (x^{\frac{1}{2}}-4)\right) = (x^{\frac{1}{2}}+4 - x^{\frac{1}{2}}+4)(x^{\frac{1}{2}}+4 + x^{\frac{1}{2}}-4) = (8)(2x^{\frac{1}{2}}) = 16x^{\frac{1}{2}}$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)}$

4. Выполним деление:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)} : \frac{x-16}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x-16}$

5. Упростим полученное выражение:
$\frac{16x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)^2} = \frac{16x}{x(x-16)^2} = \frac{16}{(x-16)^2}$

Ответ: $\frac{16}{(x-16)^2}$.

2)

Дано:

$\left(\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1,5}}{y^2-25y}\right) : \frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$

Найти:

Упростить выражение.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $y>0$.
Знаменатели не равны нулю:
$y-5y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5) \ne 0 \implies y \ne 0$ и $y^{\frac{1}{2}} \ne 5 \implies y \ne 25$.
$y^2-25y = y(y-25) \ne 0 \implies y \ne 0$ и $y \ne 25$.
$y^{\frac{1}{2}}+5 \ne 0$ (всегда верно при $y>0$).
Делитель не равен нулю: $5y^{\frac{1}{2}}+25-y \ne 0$.
Итак, ОДЗ: $y>0, y \ne 25$ и $y - 5y^{\frac{1}{2}} - 25 \ne 0$.

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем каждую дробь.
Первая дробь: $\frac{5}{y-5y^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$.
Вторая дробь: $\frac{y^{1,5}}{y^2-25y} = \frac{y \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y(y-25)} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y-25} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)}$.

2. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель: $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5) = y^{\frac{1}{2}}(y-25)$.
$\frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)} = \frac{5(y^{\frac{1}{2}}+5) - y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)}$
Упростим числитель:
$5(y^{\frac{1}{2}}+5) - (y^{\frac{1}{2}})^2 = 5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y$.
Выражение в скобках равно:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)}$.

3. Выполним деление:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)} : \frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}+5}$
Для деления умножаем на обратную дробь:
$\frac{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{5y^{\frac{1}{2}}+25-y}$

4. Сократим одинаковые множители $(5y^{\frac{1}{2}}+25-y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{y^{\frac{1}{2}}(y-25)}$

5. Разложим знаменатель $y-25 = (y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)$ и выполним последнее сокращение:
$\frac{y^{\frac{1}{2}}+5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)(y^{\frac{1}{2}}+5)} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$

Это выражение можно также записать как $\frac{1}{y - 5y^{\frac{1}{2}}}$.

Ответ: $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}}-5)}$.

316. 1) $\left(\frac{b^{\frac{1}{2}}+6}{b^{\frac{3}{2}}-6b}-\frac{b^{0,5}-6}{b^{1,5}+6b}\right):\frac{2b^{0,5}}{b-36}$

2) $\left(\frac{7}{b-7b^{0,5}}-\frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2-49b}\right)\cdot\frac{b^{0,5}+7}{49+7b^{\frac{1}{2}}-b}$

1)

Дано:

$\left(\frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b}\right) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}$

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Для удобства будем использовать запись $b^{0.5}$ вместо $b^{\frac{1}{2}}$ и $b^{1.5}$ вместо $b^{\frac{3}{2}}$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$b^{1.5} - 6b = b \cdot b^{0.5} - 6b = b(b^{0.5} - 6)$

$b^{1.5} + 6b = b \cdot b^{0.5} + 6b = b(b^{0.5} + 6)$

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)$:

$\frac{b^{0.5} + 6}{b(b^{0.5} - 6)} - \frac{b^{0.5} - 6}{b(b^{0.5} + 6)} = \frac{(b^{0.5} + 6)(b^{0.5} + 6) - (b^{0.5} - 6)(b^{0.5} - 6)}{b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)} = \frac{(b^{0.5} + 6)^2 - (b^{0.5} - 6)^2}{b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$, где $a = b^{0.5} + 6$ и $c = b^{0.5} - 6$:

$(b^{0.5} + 6 - (b^{0.5} - 6))(b^{0.5} + 6 + b^{0.5} - 6) = (b^{0.5} + 6 - b^{0.5} + 6)(2b^{0.5}) = 12 \cdot 2b^{0.5} = 24b^{0.5}$

В знаменателе также применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6) = b((b^{0.5})^2 - 6^2) = b(b - 36)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)}$

2. Теперь выполним деление:

$\frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)} : \frac{2b^{0.5}}{b - 36} = \frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)} \cdot \frac{b - 36}{2b^{0.5}}$

Сократим общие множители $(b - 36)$ и $b^{0.5}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{24}{b \cdot 2} = \frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$

2)

Дано:

$\left(\frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b}\right) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}$

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$b - 7b^{0.5} = b^{0.5}(b^{0.5} - 7)$

$b^2 - 49b = b(b - 49) = b(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)$

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{7}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)} - \frac{b^{1.5}}{b(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

Сократим вторую дробь: $\frac{b^{1.5}}{b} = b^{1.5 - 1} = b^{0.5}$. Получим:

$\frac{7}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)} - \frac{b^{0.5}}{(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)$:

$\frac{7(b^{0.5} + 7) - b^{0.5} \cdot b^{0.5}}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} = \frac{7b^{0.5} + 49 - b}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

2. Теперь выполним умножение. Заметим, что знаменатель второй дроби $49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b$ совпадает с числителем, который мы получили в результате вычитания.

$\frac{49 + 7b^{0.5} - b}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{0.5} - b}$

Сократим одинаковые выражения $(49 + 7b^{0.5} - b)$:

$\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} \cdot (b^{0.5} + 7)$

Сократим $(b^{0.5} + 7)$:

$\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)}$

Это выражение можно также записать в виде $\frac{1}{b - 7b^{0.5}}$.

Ответ: $\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)}$

317.1)

1) $ \left(\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}}\right)^2 $

2) $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} + \frac{y^{-2}-y}{y^{0.5} + y^{-0.5}} $

1)

Решение:
Упростим выражение по частям. Рассмотрим каждую дробь в скобках отдельно.
Первая дробь: $ \frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} $.
Числитель представляет собой разность квадратов: $ 25x - 16x^{-1} = (5x^{0.5})^2 - (4x^{-0.5})^2 = (5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) $.
Тогда первая дробь равна:
$ \frac{(5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} = 5x^{0.5} + 4x^{-0.5} $.
Вторая дробь: $ \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} $.
Её числитель также является разностью квадратов: $ x - 4x^{-1} = (x^{0.5})^2 - (2x^{-0.5})^2 = (x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5}) $.
Тогда вторая дробь равна:
$ \frac{(x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} = x^{0.5} + 2x^{-0.5} $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ (5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) + (x^{0.5} + 2x^{-0.5}) = 6x^{0.5} + 6x^{-0.5} = 6(x^{0.5} + x^{-0.5}) $.
Наконец, возведём результат в квадрат:
$ (6(x^{0.5} + x^{-0.5}))^2 = 36(x^{0.5} + x^{-0.5})^2 = 36((x^{0.5})^2 + 2 \cdot x^{0.5} \cdot x^{-0.5} + (x^{-0.5})^2) = 36(x + 2x^0 + x^{-1}) = 36(x + 2 + x^{-1}) $.
Ответ: $ 36(x + 2 + x^{-1}) $.

2)

Решение:
Примечание: В исходном выражении в числителе третьей дроби, скорее всего, допущена опечатка. Выражение $ y^{-2}-y $ приводит к очень громоздкому результату, что нехарактерно для задач такого типа. Решение приведено для исправленного выражения, где числитель третьей дроби равен $ y^{-2}-1 $, так как это позволяет значительно упростить выражение.

Рассмотрим выражение $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} + \frac{y^{-2}-1}{y^{0.5}+y^{-0.5}} $.
Упростим каждую дробь.
Первая дробь: $ \frac{1-y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} $. Умножим числитель и знаменатель на $ y^2 $:
$ \frac{y^2(1-y^{-2})}{y^2(y^{0.5} - y^{-0.5})} = \frac{y^2-1}{y^{2.5} - y^{1.5}} = \frac{(y-1)(y+1)}{y^{1.5}(y-1)} = \frac{y+1}{y^{1.5}} = \frac{y}{y^{1.5}} + \frac{1}{y^{1.5}} = y^{-0.5} + y^{-1.5} $.
Второй член: $ \frac{2}{y^{0.5}} = 2y^{-0.5} $.
Третья дробь (с исправленным числителем): $ \frac{y^{-2}-1}{y^{0.5}+y^{-0.5}} $. Умножим числитель и знаменатель на $ y^2 $:
$ \frac{y^2(y^{-2}-1)}{y^2(y^{0.5}+y^{-0.5})} = \frac{1-y^2}{y^{2.5}+y^{1.5}} = \frac{(1-y)(1+y)}{y^{1.5}(y+1)} = \frac{1-y}{y^{1.5}} = \frac{1}{y^{1.5}} - \frac{y}{y^{1.5}} = y^{-1.5} - y^{-0.5} $.
Теперь подставим упрощённые выражения в исходное:
$ (y^{-0.5} + y^{-1.5}) - 2y^{-0.5} + (y^{-1.5} - y^{-0.5}) $
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
$ (y^{-0.5} - 2y^{-0.5} - y^{-0.5}) + (y^{-1.5} + y^{-1.5}) = -2y^{-0.5} + 2y^{-1.5} = 2(y^{-1.5} - y^{-0.5}) $.
Ответ: $ 2(y^{-1.5} - y^{-0.5}) $.

318. Докажите тождество:

1) $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$;

2) $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$;

3) $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{21+12\sqrt{3}}}$;

4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}.$

1)Решение: Чтобы доказать тождество $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$, мы возведем правую часть в квадрат и сравним с подкоренным выражением левой части. Во-первых, необходимо убедиться, что выражение в правой части неотрицательно, поскольку арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$. $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Поскольку $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$. Теперь возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(7 - 4\sqrt{3})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$. Результат совпадает с выражением под корнем в левой части. Таким образом, $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} = |7 - 4\sqrt{3}| = 7 - 4\sqrt{3}$. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

2)Решение: Для доказательства тождества $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$ возведем правую часть в куб и проверим, совпадет ли результат с подкоренным выражением в левой части. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $(1 - \sqrt{5})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^3$ $= 1 - 3\sqrt{5} + 3 \cdot 5 - 5\sqrt{5}$ $= 1 - 3\sqrt{5} + 15 - 5\sqrt{5}$ $= (1+15) + (-3\sqrt{5} - 5\sqrt{5})$ $= 16 - 8\sqrt{5}$. Полученное выражение в точности равно подкоренному выражению в левой части. Следовательно, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

3)Решение: Для доказательства тождества $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{21+12\sqrt{3}}}$ преобразуем обе части уравнения к более простому виду. Сначала упростим левую часть: $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Теперь преобразуем правую часть. Упростим знаменатель $\sqrt{21+12\sqrt{3}}$. Попытаемся представить подкоренное выражение как полный квадрат $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. $21+12\sqrt{3} = 9 + 12\sqrt{3} + 12 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = (3+2\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{21+12\sqrt{3}} = \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2} = 3+2\sqrt{3}$. Правая часть принимает вид: $\frac{2+\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-2\sqrt{3})$: $\frac{(2+\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2}{3^2-(2\sqrt{3})^2} = \frac{6-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6}{9-12} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как левая и правая части равны $\frac{\sqrt{3}}{3}$, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

4)Решение: Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$ сначала упростим левую часть, а затем возведем ее в куб. Упростим левую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$. Теперь левая часть тождества имеет вид $2-\sqrt{3}$. Возведем это выражение в куб: $(2-\sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3$ $= 8 - 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3}$ $= 8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3}$ $= (8+18) + (-12\sqrt{3}-3\sqrt{3})$ $= 26-15\sqrt{3}$. Результат совпадает с подкоренным выражением в правой части. Это означает, что $2-\sqrt{3}$ является кубическим корнем из $26-15\sqrt{3}$. Поскольку мы показали, что $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2-\sqrt{3}$, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

319. Докажите, что B — целое число, если:

1) $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$;

2) $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$;

3) $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$;

4) $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

1) Дано: $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Поскольку оба слагаемых под корнем положительны, то и их сумма $B$ будет положительным числом ($B > 0$). Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{(37 + 20\sqrt{3})(37 - 20\sqrt{3})} + (\sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

$B^2 = (37 + 20\sqrt{3}) + 2\sqrt{37^2 - (20\sqrt{3})^2} + (37 - 20\sqrt{3})$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 400 \cdot 3}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 1200}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{169}$

$B^2 = 74 + 2 \cdot 13$

$B^2 = 74 + 26 = 100$

Так как $B > 0$ и $B^2=100$, то $B = \sqrt{100} = 10$. Число 10 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=10$, что является целым числом.

2) Дано: $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Как и в предыдущем пункте, $B > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}})^2$

$B^2 = (55 + 14\sqrt{6}) + 2\sqrt{(55 + 14\sqrt{6})(55 - 14\sqrt{6})} + (55 - 14\sqrt{6})$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{55^2 - (14\sqrt{6})^2}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 196 \cdot 6}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 1176}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{1849}$

Так как $40^2=1600$ и $43^2=1849$, то $\sqrt{1849}=43$.

$B^2 = 110 + 2 \cdot 43$

$B^2 = 110 + 86 = 196$

Так как $B > 0$ и $B^2=196$, то $B = \sqrt{196} = 14$. Число 14 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=14$, что является целым числом.

3) Дано: $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$.

Пусть $x = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$ и $y = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$, тогда $B = x+y$.

$B^3 = (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$

Найдем значения $x^3+y^3$ и $xy$:

$x^3 + y^3 = (26 + 15\sqrt{3}) + (26 - 15\sqrt{3}) = 52$

$xy = \sqrt[3]{(26 + 15\sqrt{3})(26 - 15\sqrt{3})} = \sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} = \sqrt[3]{676 - 675} = \sqrt[3]{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для $B^3$, заменив $(x+y)$ на $B$:

$B^3 = 52 + 3 \cdot 1 \cdot B$

$B^3 - 3B - 52 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно B. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm13, \ldots$.

Проверим $B=4$: $4^3 - 3 \cdot 4 - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$.

Значит, $B=4$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $B^3 - 3B - 52$ на $(B-4)$. Получим $(B-4)(B^2+4B+13)=0$.

Для квадратного трехчлена $B^2+4B+13$ дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, других действительных корней у уравнения нет.

Следовательно, единственное действительное решение это $B=4$. Число 4 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=4$, что является целым числом.

4) Дано: $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$

Найти: Доказать, что B — целое число.

Решение:

Вычислим значение выражения B. Попробуем представить подкоренные выражения в виде точного куба, например, в виде $(a\sqrt{2} \pm b)^3$.

Раскроем скобки: $(a\sqrt{2} + b)^3 = (a\sqrt{2})^3 + 3(a\sqrt{2})^2 b + 3(a\sqrt{2})b^2 + b^3 = (2a^3+3ab^2)\sqrt{2} + (6a^2b+b^3)$.

Сравним полученное выражение с $29\sqrt{2} + 45$. Приравнивая коэффициенты при $\sqrt{2}$ и свободные члены, получим систему уравнений для целых $a$ и $b$:

$\begin{cases} 2a^3+3ab^2 = 29 \\ 6a^2b+b^3 = 45 \end{cases}$

Из первого уравнения вынесем $a$: $a(2a^2+3b^2)=29$. Поскольку 29 — простое число, и мы ищем целые решения, то $a$ может быть равно $\pm1$ или $\pm29$.

Пусть $a=1$. Тогда $2(1)^2+3b^2 = 29 \Rightarrow 2+3b^2=29 \Rightarrow 3b^2=27 \Rightarrow b^2=9 \Rightarrow b=\pm3$.

Проверим пару $a=1, b=3$ во втором уравнении: $6(1)^2(3)+(3)^3 = 18+27=45$. Равенство выполняется.

Следовательно, $29\sqrt{2} + 45 = (\sqrt{2}+3)^3$.

Аналогично можно показать, что $29\sqrt{2} - 45 = (\sqrt{2}-3)^3$.

Теперь подставим найденные выражения в исходную формулу для B:

$B = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-3)^3} + \sqrt[3]{(\sqrt{2}+3)^3}$

$B = (\sqrt{2}-3) + (\sqrt{2}+3)$

$B = 2\sqrt{2}$

Полученное значение $B=2\sqrt{2}$ является иррациональным числом ($2\sqrt{2} \approx 2.828$), а не целым. Следовательно, исходное утверждение "B — целое число" для данного выражения неверно.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Например, если бы выражение имело вид $B = \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$, то, поскольку $45 + 29\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^3$ и $45 - 29\sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^3$, значение B было бы равно $B = (3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6$, что является целым числом.

Ответ: Для заданного выражения $B=2\sqrt{2}$, что не является целым числом. Утверждение задачи в данной формулировке неверно.

Докажите тождества (320-322):

320.1) $\frac{a^{3} b - a b^{3}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - ab = 0;$

2) $\frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn} = m + n;$

3) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} - (a-7)^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$, при $a > 7;$

4) $\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^{\circ} = 2\sqrt[3]{a}+1.$

1)

Решение

Преобразуем левую часть тождества. Запишем корни в виде рациональных степеней: $\frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - ab$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ab$: $a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}} = ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$.

Подставим числитель обратно в дробь и сократим ее (при условии, что $a \neq b$):

$\frac{ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = ab$.

Теперь все выражение принимает вид: $ab - ab = 0$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0=0$, тождество доказано.

2)

Решение

Преобразуем левую часть тождества $\frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn}$. Область допустимых значений: $m \ge 0, n \ge 0, m \ne n$.

Представим числитель дроби $m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$ как разность кубов $(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) ( (m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 ) = ( \sqrt{m} - \sqrt{n} ) (m + \sqrt{mn} + n)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{( \sqrt{m} - \sqrt{n} ) (m + \sqrt{mn} + n)}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = m + \sqrt{mn} + n$.

Теперь вернемся к исходному выражению: $(m + \sqrt{mn} + n) - \sqrt{mn} = m + n$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $m+n=m+n$, тождество доказано.

3)

Решение

Преобразуем левую часть $\frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} - (a-7)^0$. Условие $a > 7$ гарантирует, что $a>0$ и $a-7 \ne 0$, поэтому $(a-7)^0=1$.

Упростим первую дробь. Преобразуем числитель: $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a+1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Тогда первая дробь равна: $\frac{\frac{a+1}{a^{\frac{1}{2}}}}{a+1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Упростим вторую дробь. Преобразуем числитель: $a^{-\frac{1}{2}} + 1 = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + 1 = \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Тогда вторая дробь равна: $\frac{\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Подставим упрощенные дроби в левую часть: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} - 1 = \frac{2}{a^{\frac{1}{2}}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$, тождество доказано.

4)

Решение

Преобразуем левую часть $\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^0$. ОДЗ: $a \ne \pm 1, a \ne -10$.

Так как $a+10 \ne 0$, то $(a+10)^0 = 1$.

Упростим первую дробь, используя формулу разности кубов $a-1=(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1)$:

$\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} = \frac{(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}-1} = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1$.

Упростим вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a+1=(\sqrt[3]{a}+1)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1)$:

$\frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} = \frac{(\sqrt[3]{a}+1)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1$.

Подставим результаты в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1) - (\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1) + 1 = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1 - \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-1 + 1 = 2\sqrt[3]{a} + 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2\sqrt[3]{a} + 1 = 2\sqrt[3]{a} + 1$, тождество доказано.