Страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите интегралы (299—303):

299.1) $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx;$

4) $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx.$

299.1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 1 - 3x^2 $.

Используя таблицу первообразных, находим:

$ F(x) = \int (1 - 3x^2) dx = \int 1 dx - \int 3x^2 dx = x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x - x^3 $.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2) dx = (x - x^3) \Big|_{-1}^{0} = F(0) - F(-1) $.

$ F(0) = 0 - 0^3 = 0 $.

$ F(-1) = (-1) - (-1)^3 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $.

$ F(0) - F(-1) = 0 - 0 = 0 $.

Ответ: 0.

2)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1 $:

$ F(x) = \int (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx = \frac{x^4}{4} - 2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1) dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right) \Big|_{0}^{1} $.

$ = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 \right) $.

$ = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 - 8 + 6 + 12}{12} = \frac{13}{12} $.

Ответ: $ \frac{13}{12} $.

3)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx $.

Первообразную для функции вида $ (kx+b)^n $ можно найти по формуле $ \int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C $.

В нашем случае $ f(x) = (2+x)^3 $, где $ k=1, b=2, n=3 $.

Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{(2+x)^{3+1}}{1 \cdot (3+1)} = \frac{(2+x)^4}{4} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx = \frac{(2+x)^4}{4} \Big|_{0}^{1} = \frac{(2+1)^4}{4} - \frac{(2+0)^4}{4} $.

$ = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4} $.

Ответ: $ \frac{65}{4} $.

4)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx $.

Воспользуемся той же формулой для первообразной функции вида $ (kx+b)^n $.

В нашем случае $ f(x) = (4-x)^4 $, где $ k=-1, b=4, n=4 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(4-x)^{4+1}}{-1 \cdot (4+1)} = -\frac{(4-x)^5}{5} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx = \left( -\frac{(4-x)^5}{5} \right) \Big|_{2}^{3} = \left( -\frac{(4-3)^5}{5} \right) - \left( -\frac{(4-2)^5}{5} \right) $.

$ = \left( -\frac{1^5}{5} \right) - \left( -\frac{2^5}{5} \right) = -\frac{1}{5} - \left( -\frac{32}{5} \right) = -\frac{1}{5} + \frac{32}{5} = \frac{31}{5} $.

Ответ: $ \frac{31}{5} $.

300.1) $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 5x\right)};$

2) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \left(\cos^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2\left(\frac{\pi}{12} + 3x\right)};$

4) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\right) dx.$

1)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{5}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$.

Найдем первообразную $F(x)$. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$. Для сложной функции $\frac{1}{\cos^2(kx+b)}$ первообразная равна $\frac{1}{k}\tan(kx+b)$.

В нашем случае $k=5$ и есть постоянный множитель 5. Таким образом, первообразная находится следующим образом:

$F(x) = \int \frac{5}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} dx = 5 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = 5 \cdot \frac{1}{5} \tan(\frac{\pi}{8} + 5x) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{40}$:

$F(\frac{\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{2\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{120}$:

$F(\frac{\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{4\pi}{24}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вычисляем значение интеграла как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

$\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = F(\frac{\pi}{40}) - F(\frac{\pi}{120}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} (\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4})) dx$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Сначала упростим подынтегральное выражение. Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

В данном случае, $\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Тогда подынтегральная функция равна $\cos(2(3x - \frac{\pi}{4})) = \cos(6x - \frac{\pi}{2})$.

Применим формулу приведения $\cos(y - \frac{\pi}{2}) = \sin(y)$. Подынтегральное выражение становится $\sin(6x)$.

Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(6x)$. Первообразная для $\sin(kx)$ равна $-\frac{1}{k}\cos(kx)$.

$F(x) = \int \sin(6x) dx = -\frac{1}{6}\cos(6x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Обратите внимание, что верхний предел $\frac{\pi}{36}$ меньше нижнего предела $\frac{\pi}{18}$.

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{36}$:

$F(\frac{\pi}{36}) = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{36}) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{12}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{18}$:

$F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{1}{6}\cos(6 \cdot \frac{\pi}{18}) = -\frac{1}{6}\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{12}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx = F(\frac{\pi}{36}) - F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{\sqrt{3}}{12} - (-\frac{1}{12}) = \frac{1-\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{3}}{12}$.

3)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Подынтегральная функция $f(x) = \frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$.

Найдем первообразную $F(x)$. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$. Для сложной функции $\frac{1}{\sin^2(kx+b)}$ первообразная равна $-\frac{1}{k}\cot(kx+b)$.

В нашем случае $k=3$ и есть постоянный множитель 3. Таким образом, первообразная находится следующим образом:

$F(x) = \int \frac{3}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} dx = 3 \int \frac{dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = 3 \cdot (-\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{12} + 3x)) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x)$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{12}$:

$F(\frac{\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{4\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{18}$:

$F(\frac{\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}) = -\cot(\frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Вычисляем значение интеграла как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = F(\frac{\pi}{12}) - F(\frac{\pi}{18}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

4)

Дано:

Интеграл $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} (\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) dx$

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Сначала упростим подынтегральное выражение. Вынесем -1 за скобки:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) = -(\cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x))$.

Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2x$.

Подынтегральное выражение становится: $- \cos(2(\frac{\pi}{4} + 2x)) = -\cos(\frac{\pi}{2} + 4x)$.

Далее применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + y) = -\sin(y)$.

Выражение упрощается до: $-(-\sin(4x)) = \sin(4x)$.

Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(4x)$, которая равна $F(x) = -\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Обратите внимание, что верхний предел интегрирования меньше нижнего.

При верхнем пределе $x = \frac{\pi}{24}$:

$F(\frac{\pi}{24}) = -\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{24}) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{8}$.

При нижнем пределе $x = \frac{\pi}{12}$:

$F(\frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx = F(\frac{\pi}{24}) - F(\frac{\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{3}}{8} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1-\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{3}}{8}$.

301.1) $\int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx$

2) $\int_4^9 \left(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx$

3) $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx$

4) $\int_8^{27} \left(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}\right) dx$

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (x^3 + x^{-3}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 + x^{-3}$. Используем табличное значение $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^3 + x^{-3}) dx = \int x^3 dx + \int x^{-3} dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^4}{4} + \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2}$.

2. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

$F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{8} = 4 - \frac{1}{8} = \frac{32}{8} - \frac{1}{8} = \frac{31}{8}$.

$F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 1^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

3. Найдем значение интеграла как разность значений первообразной.

$\int_{1}^{2} (x^3 + x^{-3}) dx = F(2) - F(1) = \frac{31}{8} - (-\frac{1}{4}) = \frac{31}{8} + \frac{2}{8} = \frac{33}{8}$.

Ответ: $\frac{33}{8}$.

2)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{4}^{9} (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx$.

1. Преобразуем подынтегральную функцию к степенному виду: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(9) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} + 4(9)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + 4\sqrt{9} = \frac{2}{3}(3)^3 + 4 \cdot 3 = \frac{2}{3} \cdot 27 + 12 = 18 + 12 = 30$.

$F(4) = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} + 4(4)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 + 4\sqrt{4} = \frac{2}{3}(2)^3 + 4 \cdot 2 = \frac{2}{3} \cdot 8 + 8 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16+24}{3} = \frac{40}{3}$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{4}^{9} (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx = F(9) - F(4) = 30 - \frac{40}{3} = \frac{90 - 40}{3} = \frac{50}{3}$.

Ответ: $\frac{50}{3}$.

3)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = 5 - 3x^{-2} - 3x^2$.

$F(x) = \int (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = 5x - 3 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5x - 3 \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \frac{x^3}{3} = 5x + 3x^{-1} - x^3 = 5x + \frac{3}{x} - x^3$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(-1) = 5(-1) + \frac{3}{-1} - (-1)^3 = -5 - 3 - (-1) = -8 + 1 = -7$.

$F(-2) = 5(-2) + \frac{3}{-2} - (-2)^3 = -10 - \frac{3}{2} - (-8) = -10 - 1.5 + 8 = -2 - 1.5 = -3.5 = -\frac{7}{2}$.

3. Вычислим значение интеграла.

$\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = F(-1) - F(-2) = -7 - (-\frac{7}{2}) = -7 + \frac{7}{2} = -\frac{14}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{7}{2}$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.

4)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{8}^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}$.

$F(x) = \int (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + 3 \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + 3 \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + 9x^{\frac{1}{3}}$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(27) = \frac{3}{5}(27)^{\frac{5}{3}} + 9(27)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{27})^5 + 9\sqrt[3]{27} = \frac{3}{5}(3)^5 + 9(3) = \frac{3}{5} \cdot 243 + 27 = \frac{729}{5} + \frac{135}{5} = \frac{864}{5}$.

$F(8) = \frac{3}{5}(8)^{\frac{5}{3}} + 9(8)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{8})^5 + 9\sqrt[3]{8} = \frac{3}{5}(2)^5 + 9(2) = \frac{3}{5} \cdot 32 + 18 = \frac{96}{5} + \frac{90}{5} = \frac{186}{5}$.

3. Вычислим значение интеграла.

$\int_{8}^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx = F(27) - F(8) = \frac{864}{5} - \frac{186}{5} = \frac{678}{5}$.

Ответ: $\frac{678}{5}$.

302. 1) $\int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx$;

2) $\int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx$;

3) $\int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx$;

4) $\int_{0}^{1} \left(e^{\frac{x}{3}} - 3x^2\right)dx$.

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = 2x^{-1} + 1 = \frac{2}{x} + 1 $.
Первообразная для $ \frac{2}{x} $ есть $ 2\ln|x| $. Первообразная для $ 1 $ есть $ x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 2\ln|x| + x $.
Поскольку на отрезке $ [1, e] $ значение $ x > 0 $, то $ |x|=x $. Получаем $ F(x) = 2\ln x + x $.
Теперь вычислим значения первообразной на границах интегрирования.
При $ x = e $: $ F(e) = 2\ln(e) + e = 2 \cdot 1 + e = 2 + e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 2\ln(1) + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $.
Вычисляем разность: $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1)dx = F(e) - F(1) = (2 + e) - 1 = e + 1 $.

Ответ: $ e + 1 $.

2)

Решение

Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx $ найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3^{0.5x} $.
Используем табличный интеграл для показательной функции $ \int a^{kx}dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a} + C $.
В нашем случае $ a=3 $, $ k=0.5 $.
Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{2} 3^{0.5x}dx = F(2) - F(0) $.
При $ x = 2 $: $ F(2) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 2}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^1}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3} $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^0}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3} $.
Вычисляем разность: $ F(2) - F(0) = \frac{6}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{4}{\ln 3} $.

Ответ: $ \frac{4}{\ln 3} $.

3)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = 3x^{-1} - 4 = \frac{3}{x} - 4 $.
Первообразная для $ \frac{3}{x} $ есть $ 3\ln|x| $. Первообразная для $ -4 $ есть $ -4x $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3\ln|x| - 4x $. На отрезке $ [1, e] $ $ x > 0 $, поэтому $ F(x) = 3\ln x - 4x $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4)dx = F(e) - F(1) $.
При $ x = e $: $ F(e) = 3\ln(e) - 4e = 3 \cdot 1 - 4e = 3 - 4e $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3\ln(1) - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 0 - 4 = -4 $.
Вычисляем разность: $ F(e) - F(1) = (3 - 4e) - (-4) = 3 - 4e + 4 = 7 - 4e $.

Ответ: $ 7 - 4e $.

4)

Решение

Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = e^{\frac{x}{3}} - 3x^2 $.
Интеграл от разности равен разности интегралов: $ \int (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = \int e^{\frac{x}{3}}dx - \int 3x^2dx $.
Первообразная для $ e^{\frac{x}{3}} $ (используя формулу $ \int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} $) есть $ \frac{e^{\frac{x}{3}}}{1/3} = 3e^{\frac{x}{3}} $.
Первообразная для $ -3x^2 $ есть $ -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 $.
Таким образом, первообразная $ F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - x^3 $.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2)dx = F(1) - F(0) $.
При $ x = 1 $: $ F(1) = 3e^{\frac{1}{3}} - 1^3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 1 $.
При $ x = 0 $: $ F(0) = 3e^{\frac{0}{3}} - 0^3 = 3e^0 - 0 = 3 \cdot 1 = 3 $.
Вычисляем разность: $ F(1) - F(0) = (3e^{\frac{1}{3}} - 1) - 3 = 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.

Ответ: $ 3e^{\frac{1}{3}} - 4 $.

$\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1)dx;$

2) $\int_{1}^{e} \frac{x^2+1}{2x^3} dx;$

3) $\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x-1)^3} dx;$

4) $\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x+1)^3} dx.$

1) Дано:
Интеграл $\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x} + 1$.
$F(x) = \int (e^{3x} + 1) dx = \int e^{3x} dx + \int 1 dx = \frac{1}{3}e^{3x} + x$.
Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:
$\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx = \left. \left( \frac{1}{3}e^{3x} + x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} + 0 \right)$
$= \left( \frac{e^6}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{0} \right) = \frac{e^6}{3} + 2 - \frac{1}{3} = \frac{e^6}{3} + \frac{5}{3} = \frac{e^6 + 5}{3}$.
Ответ: $\frac{e^6 + 5}{3}$.

2) Дано:
Интеграл $\int_{1}^{e} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Сначала преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{x^2 + 1}{2x^3} = \frac{x^2}{2x^3} + \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3}$.
Теперь найдем первообразную для полученной функции:
$F(x) = \int \left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3}\right) dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2}\int x^{-3} dx = \frac{1}{2}\ln|x| + \frac{1}{2}\frac{x^{-2}}{-2} = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{4x^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница. Так как пределы интегрирования от $1$ до $e$, то $x > 0$ и $|x| = x$.
$\int_{1}^{e} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx = \left. \left( \frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{4x^2} \right) \right|_{1}^{e} = \left( \frac{1}{2}\ln e - \frac{1}{4e^2} \right) - \left( \frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4 \cdot 1^2} \right)$
$= \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{4e^2} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4e^2} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4e^2}$.
Ответ: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4e^2}$.

3) Дано:
Интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Найдем первообразную функции $f(x) = \frac{3}{(5x-1)^3} = 3(5x-1)^{-3}$.
Для этого воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 5x - 1$, тогда $du = 5dx$, откуда $dx = \frac{du}{5}$.
$\int 3(5x-1)^{-3} dx = \int 3u^{-3} \frac{du}{5} = \frac{3}{5} \int u^{-3} du = \frac{3}{5} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{3}{10}u^{-2} + C = -\frac{3}{10(5x-1)^2} + C$.
Таким образом, первообразная $F(x) = -\frac{3}{10(5x-1)^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx = \left. \left( -\frac{3}{10(5x-1)^2} \right) \right|_{-1}^{0} = \left( -\frac{3}{10(5 \cdot 0 - 1)^2} \right) - \left( -\frac{3}{10(5(-1) - 1)^2} \right)$
$= \left( -\frac{3}{10(-1)^2} \right) - \left( -\frac{3}{10(-6)^2} \right) = -\frac{3}{10} - \left( -\frac{3}{10 \cdot 36} \right) = -\frac{3}{10} + \frac{3}{360} = -\frac{3}{10} + \frac{1}{120}$
$= -\frac{3 \cdot 12}{120} + \frac{1}{120} = \frac{-36 + 1}{120} = -\frac{35}{120} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $-\frac{7}{24}$.

4) Дано:
Интеграл $\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Найдем первообразную функции $f(x) = \frac{4}{(2x+1)^3} = 4(2x+1)^{-3}$.
Используем замену переменной: $u = 2x + 1$, тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{du}{2}$.
$\int 4(2x+1)^{-3} dx = \int 4u^{-3} \frac{du}{2} = 2 \int u^{-3} du = 2 \frac{u^{-2}}{-2} + C = -u^{-2} + C = -\frac{1}{(2x+1)^2} + C$.
Первообразная $F(x) = -\frac{1}{(2x+1)^2}$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx = \left. \left( -\frac{1}{(2x+1)^2} \right) \right|_{0}^{4} = \left( -\frac{1}{(2 \cdot 4 + 1)^2} \right) - \left( -\frac{1}{(2 \cdot 0 + 1)^2} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9^2} \right) - \left( -\frac{1}{1^2} \right) = -\frac{1}{81} - (-1) = 1 - \frac{1}{81} = \frac{81 - 1}{81} = \frac{80}{81}$.
Ответ: $\frac{80}{81}$.

Найдите значения выражений (304—308):

304.1) $\sqrt{\frac{9}{16}} + \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{81}$;

2) $\sqrt{0.49} - \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[5]{32}$;

3) $\sqrt{\frac{16}{25}} + \sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} + \sqrt[6]{64}$;

4) $\sqrt{1.21} + \sqrt[3]{-4\frac{12}{125}} + \sqrt[4]{625}$.

1) $\sqrt{\frac{9}{16}} + \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{81}$

Решение

Для решения данного выражения необходимо вычислить значение каждого члена по отдельности, а затем сложить их.

1. Вычисляем квадратный корень:$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

2. Вычисляем кубический корень. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54 + 10}{27} = -\frac{64}{27}$Теперь извлекаем корень:$\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{27}} = -\frac{4}{3}$

3. Вычисляем корень четвертой степени:$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

4. Складываем полученные значения:$\frac{3}{4} + (-\frac{4}{3}) + 3 = \frac{3}{4} - \frac{4}{3} + 3$Приводим дроби к общему знаменателю 12:$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{9 - 16 + 36}{12} = \frac{29}{12} = 2\frac{5}{12}$

Ответ: $2\frac{5}{12}$.

2) $\sqrt{0,49} - \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[5]{32}$

Решение

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Вычисляем квадратный корень:$\sqrt{0,49} = \sqrt{(0,7)^2} = 0,7$

2. Вычисляем кубический корень. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$-15\frac{5}{8} = -\frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{120 + 5}{8} = -\frac{125}{8}$Извлекаем корень:$\sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = \frac{\sqrt[3]{-125}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{5}{2} = -2,5$

3. Вычисляем корень пятой степени:$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

4. Выполняем действия с полученными значениями:$0,7 - (-2,5) + 2 = 0,7 + 2,5 + 2 = 3,2 + 2 = 5,2$

Ответ: $5,2$.

3) $\sqrt{\frac{16}{25}} + \sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} + \sqrt[6]{64}$

Решение

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Вычисляем квадратный корень:$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

2. Вычисляем кубический корень. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = -\frac{125}{64}$Извлекаем корень:$\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{-125}}{\sqrt[3]{64}} = -\frac{5}{4}$

3. Вычисляем корень шестой степени:$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$

4. Складываем полученные результаты:$\frac{4}{5} + (-\frac{5}{4}) + 2 = \frac{4}{5} - \frac{5}{4} + 2$Приводим дроби к общему знаменателю 20:$\frac{4 \cdot 4}{20} - \frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{2 \cdot 20}{20} = \frac{16 - 25 + 40}{20} = \frac{31}{20} = 1,55$

Ответ: $1,55$.

4) $\sqrt{1,21} + \sqrt[3]{-4\frac{12}{125}} + \sqrt[4]{625}$

Решение

Вычислим значение каждого члена выражения.

1. Вычисляем квадратный корень:$\sqrt{1,21} = \sqrt{(1,1)^2} = 1,1$

2. Вычисляем кубический корень. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$-4\frac{12}{125} = -\frac{4 \cdot 125 + 12}{125} = -\frac{500 + 12}{125} = -\frac{512}{125}$Извлекаем корень:$\sqrt[3]{-\frac{512}{125}} = \frac{\sqrt[3]{-512}}{\sqrt[3]{125}} = -\frac{8}{5} = -1,6$

3. Вычисляем корень четвертой степени:$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

4. Выполняем действия с полученными значениями:$1,1 + (-1,6) + 5 = 1,1 - 1,6 + 5 = -0,5 + 5 = 4,5$

Ответ: $4,5$.