Страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Какое свойство случайной величины определяют с помощью математического ожидания?

2. Какой числовой характеристике случайной величины соответствует среднее арифметическое?

3. Как объяснить геометрическую интерпретацию дисперсии и среднего квадратичного отклонения?

4. Необходимы ли другие данные, кроме закона распределения, для вычисления $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$? Ответ обоснуйте.

1. Какое свойство случайной величины определяют с помощью математического ожидания?

Математическое ожидание, обозначаемое как $M(X)$ или $E(X)$, является числовой характеристикой, которая определяет центральную тенденцию или положение центра распределения случайной величины на числовой оси. Это среднее взвешенное значение всех возможных значений случайной величины, где в качестве весов выступают их вероятности. Если представить распределение вероятностей как распределение масс вдоль оси, то математическое ожидание будет координатой центра масс этой системы. Таким образом, оно показывает, вокруг какого значения группируются значения случайной величины.
Ответ: С помощью математического ожидания определяют центр распределения случайной величины, то есть её среднее ожидаемое значение.

2. Какой числовой характеристике случайной величины соответствует среднее арифметическое?

Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины является статистической оценкой её математического ожидания. Согласно закону больших чисел, при увеличении числа независимых испытаний (наблюдений) среднее арифметическое результатов этих испытаний сходится по вероятности к математическому ожиданию данной случайной величины. На практике, когда мы многократно измеряем некоторую случайную величину, среднее арифметическое полученных результатов используется как приближенное значение её математического ожидания.
Ответ: Среднее арифметическое соответствует математическому ожиданию случайной величины.

3. Как объяснить геометрическую интерпретацию дисперсии и среднего квадратичного отклонения?

Дисперсия $D(X)$ и среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ характеризуют степень разброса (рассеяния) значений случайной величины относительно её математического ожидания $M(X)$.

Геометрически, математическое ожидание $M(X)$ можно представить как точку на числовой оси, являющуюся «центром тяжести» распределения вероятностей.

Дисперсия, $D(X) = M[(X - M(X))^2]$, представляет собой среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Геометрически её сложно интерпретировать напрямую, так как она имеет размерность квадрата исходной величины (например, метры в квадрате, если величина измерялась в метрах). Она характеризует «момент инерции» распределения масс вероятностей относительно его центра тяжести $M(X)$. Чем больше дисперсия, тем дальше в среднем значения случайной величины отстоят от центра.

Среднее квадратичное отклонение, $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$, является более наглядной мерой разброса, так как его размерность совпадает с размерностью самой случайной величины. Геометрически $\sigma(X)$ можно представить как «стандартное» или «типичное» расстояние, на которое значения случайной величины отклоняются от своего центра — математического ожидания $M(X)$. Таким образом, интервал $[M(X) - \sigma(X), M(X) + \sigma(X)]$ представляет собой некоторый диапазон вокруг среднего значения, в который с большой вероятностью попадают значения случайной величины. Чем больше $\sigma(X)$, тем шире этот диапазон и тем сильнее разбросаны значения.
Ответ: Математическое ожидание $M(X)$ — это точка, центр распределения на числовой оси. Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ — это мера разброса значений вокруг этого центра, представляющая собой типичное расстояние от случайной точки до центра $M(X)$. Дисперсия $D(X)$ — это квадрат этого типичного расстояния, характеризующий «инертность» распределения относительно центра.

4. Необходимы ли другие данные, кроме закона распределения, для вычисления M(X), D(X), σ(X)? Ответ обоснуйте.

Нет, никакие другие данные, кроме закона распределения случайной величины, для вычисления её математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$ не нужны.

Обоснование:
Закон распределения случайной величины полностью её характеризует.

• Для дискретной случайной величины закон распределения задаётся перечнем её возможных значений $x_1, x_2, \dots, x_n$ и соответствующих им вероятностей $p_1, p_2, \dots, p_n$. Формулы для вычисления характеристик используют только эти данные:
  $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$
  $D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i$
• Для непрерывной случайной величины закон распределения задаётся функцией плотности вероятности $f(x)$. Формулы также опираются исключительно на эту функцию:
  $M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
  $D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx$

284. Закон распределения случайной величины задан таблицей:

$X$: 2 4 7 9 12

$p$: 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найдите математическое ожидание.

Дано:

Задан закон распределения дискретной случайной величины X в виде таблицы:

Возможные значения случайной величины: $x_1=2, x_2=4, x_3=7, x_4=9, x_5=12$.

Соответствующие вероятности: $p_1=0,1, p_2=0,2, p_3=0,3, p_4=0,3, p_5=0,1$.

Найти:

Математическое ожидание $M(X)$.

Решение:

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим данные из таблицы в эту формулу:

$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4 + x_5 p_5$

$M(X) = 2 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,1$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0,2 + 0,8 + 2,1 + 2,7 + 1,2$

Сложим полученные значения:

$M(X) = 1,0 + 2,1 + 2,7 + 1,2 = 3,1 + 2,7 + 1,2 = 5,8 + 1,2 = 7,0$

Таким образом, математическое ожидание данной случайной величины равно 7.

Ответ: 7.

285. Вычислите дисперсию, если закон распределения случайной величины задан таблицей:

X 3 8 12 16 18

p 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Дано:

Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

Найти:

Дисперсию $D(X)$.

Решение:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$, которое равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

$M(X) = \sum x_i p_i = 3 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,2 + 12 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 1,6 + 4,8 + 3,2 + 1,8 = 11,7$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$. Для этого сначала составим закон распределения для случайной величины $X^2$:

Теперь вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 9 \cdot 0,1 + 64 \cdot 0,2 + 144 \cdot 0,4 + 256 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 12,8 + 57,6 + 51,2 + 32,4 = 154,9$

3. Теперь вычислим дисперсию, подставив найденные значения в формулу:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 154,9 - (11,7)^2 = 154,9 - 136,89 = 18,01$

Ответ: $18,01$.

286. Найдите среднее квадратичное отклонение, используя закон распределения случайной величины, заданный таблицей:

X: 2, 5, 7, 10

p: 0,2, 0,4, 0,2, 0,2

Дано:

Закон распределения дискретной случайной величины $X$ задан таблицей:

Возможные значения $x_1=2, x_2=5, x_3=7, x_4=10$.

Соответствующие вероятности $p_1=0,2, p_2=0,4, p_3=0,2, p_4=0,2$.

Найти:

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$.

Решение:

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ случайной величины $X$ равно квадратному корню из ее дисперсии $D(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Дисперсию $D(X)$ можно вычислить по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X$.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$

$M(X) = 2 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,4 + 7 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,2 = 0,4 + 2,0 + 1,4 + 2,0 = 5,8$

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3 + x_4^2 p_4$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,4 + 7^2 \cdot 0,2 + 10^2 \cdot 0,2$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,4 + 49 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,2 = 0,8 + 10,0 + 9,8 + 20,0 = 40,6$

3. Вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 40,6 - (5,8)^2 = 40,6 - 33,64 = 6,96$

4. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{6,96} \approx 2,638$

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{6,96} \approx 2,64$.