Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

305.1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$;

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$;

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$;

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$.

1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$
Решение:
Используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под один корень:
$\sqrt[6]{(2^7 \cdot 3^2) \cdot (2^5 \cdot 3)} = \sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2 \cdot 2^5 \cdot 3^1}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{2^{7+5} \cdot 3^{2+1}} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^3}$
Упростим, извлекая корень из каждого множителя по правилу $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$:
$\sqrt[6]{2^{12}} \cdot \sqrt[6]{3^3} = 2^{12/6} \cdot 3^{3/6} = 2^2 \cdot 3^{1/2} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$
Решение:
Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для корней с одинаковым показателем:
$\sqrt[5]{(5^3 \cdot 6^2) \cdot (5^{12} \cdot 6^3)} = \sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2 \cdot 5^{12} \cdot 6^3}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[5]{5^{3+12} \cdot 6^{2+3}} = \sqrt[5]{5^{15} \cdot 6^5}$
Извлечем корень из каждого множителя под корнем:
$\sqrt[5]{5^{15}} \cdot \sqrt[5]{6^5} = 5^{15/5} \cdot 6^{5/5} = 5^3 \cdot 6^1 = 125 \cdot 6 = 750$.
Ответ: $750$.

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$
Решение:
Объединим подкоренные выражения под один знак корня восьмой степени:
$\sqrt[8]{(4^5 \cdot 7^7) \cdot (4^7 \cdot 7)} = \sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7 \cdot 4^7 \cdot 7^1}$
Перемножим степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[8]{4^{5+7} \cdot 7^{7+1}} = \sqrt[8]{4^{12} \cdot 7^8}$
Представим основание $4$ как $2^2$ для удобства извлечения корня:
$\sqrt[8]{(2^2)^{12} \cdot 7^8} = \sqrt[8]{2^{2 \cdot 12} \cdot 7^8} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 2^{24/8} \cdot 7^{8/8} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: $56$.

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$
Решение:
Воспользуемся свойством произведения корней, чтобы объединить выражения под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 5)} = \sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \cdot 5^1}$
Сгруппируем и перемножим степени:
$\sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 5^{3+1}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 5^4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{5^4} = 2^{8/4} \cdot 5^{4/4} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: $20$.

306. 1) $\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}}$;

2) $\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}}$;

3) $\sqrt[6]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9-\sqrt{17}}$;

4) $\sqrt[7]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7+4\sqrt{3}}$.

1)

Дано:

Выражение $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления произведения корней одинаковой степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=10$ и $b=\sqrt{19}$.

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt[4]{81}$.

Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

Ответ: 3.

2)

Дано:

Выражение $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению под корнем, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$.

$(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.

Таким образом, получаем $\sqrt[5]{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2.

3)

Дано:

Выражение $\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}} = \sqrt[6]{(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17})}$.

Выражение в скобках является разностью квадратов, где $a=9$ и $b=\sqrt{17}$.

$(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.

Получаем выражение $\sqrt[6]{64}$.

Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Ответ: 2.

4)

Дано:

Выражение $\sqrt[7]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7 + 4\sqrt{3}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Применим свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[7]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt[7]{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$.

Под корнем находится произведение вида $(a-b)(a+b)$, которое равно $a^2 - b^2$. В данном случае $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (4^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt[7]{1}$.

Корень любой натуральной степени из единицы равен единице, поэтому $\sqrt[7]{1} = 1$.

Ответ: 1.

307.1) $25^{2,5} - \left(\frac{1}{4}\right)^{-1,5} + \left(\frac{5}{3}\right)^{2,7} \cdot (0,6)^{2,7};$

2) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1,5} + 8^3 - \left(\frac{2}{7}\right)^6 \cdot \left(3\frac{1}{2}\right)^6;$

3) $16^{1,5} - \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{0,19} \cdot (1,5)^{0,19};$

4) $81^{0,25} + \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{2}{5}} - (0,15)^{-0,35} \cdot \left(6\frac{2}{3}\right)^{-0,35};$

5) $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^6}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot 4 \cdot \left(4^{\frac{1}{3}}\right)^4;$

6) $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2}{125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot \left(25^{-\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}.$

1)

Дано: $25^{2,5} - (\frac{1}{4})^{-1,5} + (\frac{5}{3})^{2,7} \cdot (0,6)^{2,7}$

Найти: значение выражения.

Решение:

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Преобразуем десятичные показатели в дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$ и $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$25^{2,5} = 25^{\frac{5}{2}} = (5^2)^{\frac{5}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 5^5 = 3125$.

2. Вычислим второе слагаемое:

$(\frac{1}{4})^{-1,5} = (\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

3. Вычислим третье слагаемое, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$. Преобразуем $0,6$ в обыкновенную дробь: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$(\frac{5}{3})^{2,7} \cdot (0,6)^{2,7} = (\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5})^{2,7} = 1^{2,7} = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$3125 - 8 + 1 = 3117 + 1 = 3118$.

Ответ: 3118.

2)

Дано: $(\frac{1}{9})^{-1,5} + 8^{\frac{4}{3}} - (\frac{2}{7})^6 \cdot (3\frac{1}{2})^6$

Найти: значение выражения.

Решение:

1. $(\frac{1}{9})^{-1,5} = (\frac{1}{9})^{-\frac{3}{2}} = 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

2. $8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16$.

3. Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$(\frac{2}{7})^6 \cdot (\frac{7}{2})^6 = (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2})^6 = 1^6 = 1$.

4. Подставим результаты в выражение:

$27 + 16 - 1 = 43 - 1 = 42$.

Ответ: 42.

3)

Дано: $16^{1,5} - (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} + (\frac{2}{3})^{0,19} \cdot (1,5)^{0,19}$

Найти: значение выражения.

Решение:

1. $16^{1,5} = 16^{\frac{3}{2}} = (4^2)^{\frac{3}{2}} = 4^3 = 64$.

2. $(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^4 = 81$.

3. Преобразуем $1,5$ в дробь $\frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^{0,19} \cdot (1,5)^{0,19} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{0,19} = 1^{0,19} = 1$.

4. Выполним действия:

$64 - 81 + 1 = -17 + 1 = -16$.

Ответ: -16.

4)

Дано: $81^{0,25} + (\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}} - (0,15)^{-0,35} \cdot (6\frac{2}{3})^{-0,35}$

Найти: значение выражения.

Решение:

1. $81^{0,25} = 81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^1 = 3$.

2. $(\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

3. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число: $0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ и $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.

$(0,15)^{-0,35} \cdot (6\frac{2}{3})^{-0,35} = (\frac{3}{20} \cdot \frac{20}{3})^{-0,35} = 1^{-0,35} = 1$.

4. Выполним действия:

$3 + 4 - 1 = 6$.

Ответ: 6.

5)

Дано: $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6}{4^{-\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot (4\frac{1}{3})^4$

Найти: значение выражения.

Решение:

Примечание: Исходное выражение в задачнике, скорее всего, содержит опечатки, так как в текущем виде оно не упрощается до рационального числа. Решение приводится для исправленной версии, которая приводит к простому ответу, характерному для задач такого типа. Предполагаемые исправления: $64^{\frac{2}{3}}$ заменено на $64^{-\frac{2}{3}}$ и множитель $(4\frac{1}{3})^4$ заменен на $4 \cdot (4^{\frac{1}{3}})^4$.

Исправленное выражение: $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6}{4^{-\frac{1}{3}} \cdot 64^{-\frac{2}{3}}} \cdot 4(4^{\frac{1}{3}})^4$

Преобразуем все степени к основанию 4:

1. Числитель: $16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6 = (4^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (4^{-1})^6 = 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{-6} = 4^{\frac{4}{3} - \frac{18}{3}} = 4^{-\frac{14}{3}}$.

2. Знаменатель: $4^{-\frac{1}{3}} \cdot 64^{-\frac{2}{3}} = 4^{-\frac{1}{3}} \cdot (4^3)^{-\frac{2}{3}} = 4^{-\frac{1}{3}} \cdot 4^{-2} = 4^{-\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = 4^{-\frac{7}{3}}$.

3. Дробь: $\frac{4^{-\frac{14}{3}}}{4^{-\frac{7}{3}}} = 4^{-\frac{14}{3} - (-\frac{7}{3})} = 4^{-\frac{14}{3} + \frac{7}{3}} = 4^{-\frac{7}{3}}$.

4. Множитель: $4(4^{\frac{1}{3}})^4 = 4^1 \cdot 4^{\frac{4}{3}} = 4^{1 + \frac{4}{3}} = 4^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}} = 4^{\frac{7}{3}}$.

5. Итоговый результат: $4^{-\frac{7}{3}} \cdot 4^{\frac{7}{3}} = 4^{-\frac{7}{3} + \frac{7}{3}} = 4^0 = 1$.

Ответ: 1.

6)

Дано: $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2}{125^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot (25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$

Найти: значение выражения.

Решение:

Преобразуем все степени к основанию 5.

1. Числитель: $25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2 = (5^2)^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{-2} = 5^3 \cdot 5^{-2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

2. Знаменатель: $125^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = (5^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = 5^{-2} \cdot 5^{-2} = 5^{-2-2} = 5^{-4}$.

3. Дробь: $\frac{5^1}{5^{-4}} = 5^{1 - (-4)} = 5^{1+4} = 5^5$.

4. Множитель: $(25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 25^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{-1}$.

5. Итоговый результат: $5^5 \cdot 5^{-1} = 5^{5-1} = 5^4 = 625$.

Ответ: 625.

308. 1) $ \log_{27} 3 - \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + \log_{2,5} 0,4; $

2) $ \log_{\sqrt{6}} \frac{1}{36} - \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} - \log_{0,2} 5; $

3) $ 9^{\frac{3}{2}} - \log_{\frac{1}{5}} 25; $

4) $ \log_{\sqrt{3}} 27 - \log_{1,5} \frac{2}{3} - \log_8 4; $

5) $ \log_3 \frac{1}{27} - \log_4 32; $

6) $ 625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} \log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}. $

1)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{27}3 - \log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} + \log_{2,5}0,4$ по частям, используя свойства логарифмов.

1. Для первого слагаемого $\log_{27}3$ представим основание в виде степени числа 3: $27=3^3$.

$\log_{27}3 = \log_{3^3}3 = \frac{1}{3}\log_3 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

2. Для второго слагаемого $\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}$ представим основание и аргумент в виде степеней числа 5: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} = \log_{5^{1/2}}5^{-1} = \frac{-1}{1/2}\log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$.

3. Для третьего слагаемого $\log_{2,5}0,4$ представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,5 = \frac{5}{2}$ и $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Аргумент является обратной величиной к основанию: $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

$\log_{2,5}0,4 = \log_{5/2}(\frac{2}{5}) = \log_{5/2}(\frac{5}{2})^{-1} = -1 \cdot \log_{5/2}(\frac{5}{2}) = -1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\log_{27}3 - \log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5} + \log_{2,5}0,4 = \frac{1}{3} - (-2) + (-1) = \frac{1}{3} + 2 - 1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36} - \log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2} - \log_{0,2}5$ по частям.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36}$. Основание $\sqrt{6} = 6^{1/2}$, аргумент $\frac{1}{36} = 6^{-2}$.

$\log_{\sqrt{6}}\frac{1}{36} = \log_{6^{1/2}}6^{-2} = \frac{-2}{1/2}\log_6 6 = -4$.

2. Вычислим $\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}$. Основание $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, аргумент $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2} = \log_{2^{1/2}}2^{-1} = \frac{-1}{1/2}\log_2 2 = -2$.

3. Вычислим $\log_{0,2}5$. Основание $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$\log_{0,2}5 = \log_{5^{-1}}5^1 = \frac{1}{-1}\log_5 5 = -1$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$-4 - (-2) - (-1) = -4 + 2 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$.

3)

Решение

Вычислим значение выражения $9^{\frac{3}{2}} - \log_{\frac{1}{5}}25$ по частям.

1. Вычислим $9^{\frac{3}{2}}$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

2. Вычислим $\log_{\frac{1}{5}}25$. Основание $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, аргумент $25 = 5^2$.

$\log_{\frac{1}{5}}25 = \log_{5^{-1}}5^2 = \frac{2}{-1}\log_5 5 = -2$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$27 - (-2) = 27 + 2 = 29$.

Ответ: $29$.

4)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{3}}27 - \log_{1,5}\frac{2}{3} - \log_8 4$ по частям.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{3}}27$. Основание $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, аргумент $27 = 3^3$.

$\log_{\sqrt{3}}27 = \log_{3^{1/2}}3^3 = \frac{3}{1/2}\log_3 3 = 6$.

2. Вычислим $\log_{1,5}\frac{2}{3}$. Основание $1,5 = \frac{3}{2}$, аргумент $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.

$\log_{1,5}\frac{2}{3} = \log_{3/2}(\frac{3}{2})^{-1} = -1$.

3. Вычислим $\log_8 4$. Приведем основание и аргумент к общему основанию 2: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$\log_8 4 = \log_{2^3}2^2 = \frac{2}{3}\log_2 2 = \frac{2}{3}$.

4. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$6 - (-1) - \frac{2}{3} = 7 - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} - \frac{2}{3} = \frac{19}{3}$.

Ответ: $\frac{19}{3}$.

5)

Решение

Вычислим значение выражения $\log_3\frac{1}{27} - \log_4 32$ по частям.

1. Вычислим $\log_3\frac{1}{27}$. Аргумент $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

$\log_3\frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \log_3 3 = -3$.

2. Вычислим $\log_4 32$. Приведем основание и аргумент к общему основанию 2. $4=2^2$, $32=2^5$.

$\log_4 32 = \log_{2^2}2^5 = \frac{5}{2}\log_2 2 = \frac{5}{2}$.

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$-3 - \frac{5}{2} = -\frac{6}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{11}{2}$.

Ответ: $-\frac{11}{2}$.

6)

Решение

Вычислим значение выражения $625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4}\log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}$ по частям.

1. Вычислим $625^{\frac{1}{4}}$. Так как $625 = 5^4$, то:

$625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 5^1 = 5$.

2. Вычислим значение выражения $\frac{1}{4}\log_2 4 \cdot 36^{\log_6 2}$.

а) Сначала найдем значение $\log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$.

б) Затем найдем значение $36^{\log_6 2}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, преобразуем выражение. Так как $36 = 6^2$, то:

$36^{\log_6 2} = (6^2)^{\log_6 2} = 6^{2\log_6 2}$.

Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$6^{2\log_6 2} = 6^{\log_6 2^2} = 6^{\log_6 4} = 4$.

в) Теперь перемножим полученные значения: $\frac{1}{4} \cdot (\log_2 4) \cdot (36^{\log_6 2}) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 4 = 2$.

3. Выполним вычитание, подставив найденные значения в исходное выражение:

$5 - 2 = 3$.

Ответ: $3$.

309. Найдите:

1) значение a, если $log_3 a = \frac{1}{2}$;

2) значение b, если $log_b \frac{1}{81} = -4$;

3) значение c, если $log_6 c = 3$;

4) значение m, если $log_m 0,25 = -4$.

1) значение a, если $\log_3 a = \frac{1}{2}$;

По определению логарифма, если $\log_x y = z$, то $x^z = y$.

В данном случае, основание логарифма $x=3$, значение логарифма $z = \frac{1}{2}$, а число под знаком логарифма $y=a$.

Применяя определение, получаем уравнение: $3^{\frac{1}{2}} = a$.

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню.

Следовательно, $a = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \sqrt{3}$.

2) значение b, если $\log_b \frac{1}{81} = -4$;

Используем определение логарифма: $\log_x y = z \Leftrightarrow x^z = y$.

В нашем уравнении $x=b$, $y = \frac{1}{81}$, $z = -4$.

Подставляя эти значения в определение, получаем: $b^{-4} = \frac{1}{81}$.

Отрицательная степень $b^{-4}$ равна $\frac{1}{b^4}$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $\frac{1}{b^4} = \frac{1}{81}$.

Отсюда следует, что $b^4 = 81$.

Представим 81 как степень с основанием 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Получаем уравнение $b^4 = 3^4$.

Поскольку основание логарифма $b$ должно быть положительным и не равным 1 ($b > 0, b \neq 1$), единственным решением является $b=3$.

Ответ: $b = 3$.

3) значение c, если $\log_6 c = 3$;

Согласно определению логарифма, равенство $\log_x y = z$ равносильно $x^z = y$.

Для данного уравнения имеем: основание $x=6$, значение логарифма $z=3$, число под знаком логарифма $y=c$.

Применяем определение: $6^3 = c$.

Вычисляем значение $6^3$: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$.

Следовательно, $c = 216$.

Ответ: $c = 216$.

4) значение m, если $\log_m 0,25 = -4$.

Снова воспользуемся определением логарифма: $\log_x y = z \Leftrightarrow x^z = y$.

В этом уравнении $x=m$, $y = 0,25$, $z = -4$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид: $\log_m \frac{1}{4} = -4$.

Применяем определение логарифма: $m^{-4} = \frac{1}{4}$.

Перепишем левую часть с положительным показателем степени: $\frac{1}{m^4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $m^4 = 4$.

Чтобы найти $m$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения: $m = \sqrt[4]{4}$.

Упростим выражение: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Основание логарифма $m$ должно быть положительным и не равным 1. Значение $m = \sqrt{2}$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $m = \sqrt{2}$.