Страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

342.1)

$3^{1 + \log_3(x + 2y)} = 6x,$

$3^{x^2 - 2y} = 9^{0.5x};$

2)

$3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27},$

$0.1^x \cdot 10^y = 10^{-8}.$

1)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $3^{1 + \log_3(x + 2y)} = 6x$. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^1 \cdot 3^{\log_3(x + 2y)} = 6x$
$3(x + 2y) = 6x$
При этом необходимо учесть область допустимых значений логарифма: $x + 2y > 0$.
Упростим уравнение:
$3x + 6y = 6x$
$6y = 3x$
$x = 2y$

Преобразуем второе уравнение системы $3^{x^2 - 2y} = 9^{0,5x}$. Приведем обе части к основанию 3:
$3^{x^2 - 2y} = (3^2)^{0,5x}$
$3^{x^2 - 2y} = 3^{2 \cdot 0,5x}$
$3^{x^2 - 2y} = 3^x$
Приравнивая показатели степеней, получаем:
$x^2 - 2y = x$

Таким образом, мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} x = 2y \\ x^2 - 2y = x\end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(2y)^2 - 2y = 2y$
$4y^2 - 4y = 0$
$4y(y - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим найденные пары по области допустимых значений $x + 2y > 0$.
Для пары $(0, 0)$: $0 + 2 \cdot 0 = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $x + 2y > 0$.
Для пары $(2, 1)$: $2 + 2 \cdot 1 = 4 > 0$. Эта пара удовлетворяет условию.
Следовательно, решением системы является пара $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

2)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и тот факт, что $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, получаем:
$3^{x+y} = 3^{-3}$
Следовательно, $x+y = -3$.

Преобразуем второе уравнение системы $0,1^x \cdot 10^y = 10^{-8}$. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$, имеем:
$(10^{-1})^x \cdot 10^y = 10^{-8}$
$10^{-x} \cdot 10^y = 10^{-8}$
$10^{-x+y} = 10^{-8}$
Следовательно, $-x+y = -8$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = -3 \\ -x + y = -8\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x+y) + (-x+y) = -3 + (-8)$
$2y = -11$
$y = -\frac{11}{2} = -5,5$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $x+y=-3$:
$x + (-5,5) = -3$
$x - 5,5 = -3$
$x = -3 + 5,5$
$x = 2,5$
Решением системы является пара $(2,5; -5,5)$.
Ответ: $(2,5; -5,5)$.

Решите показательные неравенства (343 – 352):

343. 1) $(\frac{1}{4})^{-3x} \le 8^2;$

2) $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2;$

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5;$

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36.$

1) $(\frac{1}{4})^{-3x} \le 8^2$

Решение:

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 2.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{4})^{-3x} = ( (2^2)^{-1} )^{-3x} = (2^{-2})^{-3x} = 2^{(-2) \cdot (-3x)} = 2^{6x}$.

Преобразуем правую часть:

$8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Теперь неравенство имеет вид:

$2^{6x} \le 2^6$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$6x \le 6$.

Разделим обе части на 6:

$x \le 1$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

2) $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2$

Решение:

Приведем обе части неравенства к общему основанию 3.

Левая часть:

$9^{-4x} = (3^2)^{-4x} = 3^{-8x}$.

Правая часть:

$(\frac{1}{81})^2 = (\frac{1}{3^4})^2 = (3^{-4})^2 = 3^{-8}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{-8x} > 3^{-8}$.

Основание степени $a=3$ больше единицы ($a > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$-8x > -8$.

Разделим обе части на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 1$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5$

Решение:

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 5:

$5 = 5^1$.

Неравенство принимает вид:

$5^{\frac{2x}{x+1}} > 5^1$.

Основание степени $a=5$ больше единицы ($a > 1$), поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{2x}{x+1} > 1$.

Прежде чем решать это дробно-рациональное неравенство, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Теперь решим неравенство. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x+1} - 1 > 0$

$\frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0$

$\frac{x-1}{x+1} > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-1}{x+1}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0$. Интервал $(1, \infty)$ является решением.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+1} = -1 < 0$. Интервал $(-1, 1)$ не является решением.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Интервал $(-\infty, -1)$ является решением.

Объединяя интервалы, получаем решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36$

Решение:

Приведем обе части к основанию 6:

$36 = 6^2$.

Неравенство принимает вид:

$6^{\frac{2x-1}{x}} < 6^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для показателя: $x \neq 0$.

Основание степени $a=6$ больше единицы ($a > 1$), поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{2x-1}{x} < 2$.

Решим это дробно-рациональное неравенство:

$\frac{2x-1}{x} - 2 < 0$

$\frac{2x-1 - 2x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель -1 отрицателен, знаменатель $x$ должен быть положителен.

$x > 0$.

Решение $x > 0$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $(0, \infty)$.

344. 1) $4^{x^2 - 1} > 64;$

2) $5^{6 - 2x^2} < \frac{1}{625};$

3) $27 \cdot 3^{x^2 - 3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1};$

4) $8 \cdot 2^{x^2 - 4x} > \frac{1}{2}.$

1) $4^{x^2-1} > 64$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 4.
Так как $64 = 4^3$, неравенство можно переписать в виде:
$4^{x^2-1} > 4^3$.

Поскольку основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 1 > 3$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 > 4$
$x^2 - 4 > 0$
$(x-2)(x+2) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны при $x$, находящемся вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.
Правая часть: $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.
Неравенство принимает вид:
$5^{6-2x^2} < 5^{-4}$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:
$6 - 2x^2 < -4$.

Решим полученное неравенство:
$10 < 2x^2$
$5 < x^2$
$x^2 - 5 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$.
Корни соответствующего уравнения равны $x_1 = -\sqrt{5}$ и $x_2 = \sqrt{5}$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней.
Решением является $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) $27 \cdot 3^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$

Преобразуем обе части неравенства, чтобы привести их к основанию 3.
Левая часть: $27 \cdot 3^{x^2-3x} = 3^3 \cdot 3^{x^2-3x} = 3^{3 + x^2 - 3x}$.
Правая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = (3^{-1})^{-1} = 3^1 = 3$.
Неравенство принимает вид:
$3^{x^2 - 3x + 3} < 3^1$.

Поскольку основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 3x + 3 < 1$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 3x + 2 < 0$.
Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
$(x - 1)(x - 2) < 0$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями.
Следовательно, решение: $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

4) $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}$

Приведем обе части неравенства к основанию 2.
Левая часть: $8 \cdot 2^{x^2-4x} = 2^3 \cdot 2^{x^2-4x} = 2^{3 + x^2 - 4x}$.
Правая часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид:
$2^{x^2 - 4x + 3} > 2^{-1}$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$x^2 - 4x + 3 > -1$.

Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4x + 4 > 0$.
Левая часть является полным квадратом:
$(x - 2)^2 > 0$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x=2$ и положительно при всех остальных значениях $x$.
Таким образом, неравенство справедливо для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

345. 1) $49^{0,5x^2 - 1} \leq \left(\frac{1}{7}\right)^{-2};$

2) $(0,16)^{0,5x^2 - 3} \geq (2,5)^{-3};$

3) $(0,04)^{3 - 0,5x^2} \geq 125;$

4) $9^{0,5x^2 - 2,5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}.$

1) $49^{0,5x^2 - 1} \le \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 7.

Преобразуем левую часть: $49 = 7^2$.

$49^{0,5x^2 - 1} = (7^2)^{0,5x^2 - 1} = 7^{2 \cdot (0,5x^2 - 1)} = 7^{x^2 - 2}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^{(-1) \cdot (-2)} = 7^2$.

Получаем неравенство:

$7^{x^2 - 2} \le 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 \le 2$

$x^2 - 4 \le 0$

$(x - 2)(x + 2) \le 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения $(x - 2)(x + 2)$ на каждом интервале.

При $x < -2$ (например, $x=-3$), выражение положительно: $(-3-2)(-3+2) > 0$.

При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$), выражение отрицательно: $(0-2)(0+2) < 0$.

При $x > 2$ (например, $x=3$), выражение положительно: $(3-2)(3+2) > 0$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.

2) $(0,16)^{0,5x^2 - 3} \ge (2,5)^{-3}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$ и $2,5 = \frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$.

Преобразуем левую часть:

$(0,16)^{0,5x^2 - 3} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^{0,5x^2 - 3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{2 \cdot (0,5x^2 - 3)} = \left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 6}$.

Преобразуем правую часть:

$(2,5)^{-3} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{(-1) \cdot (-3)} = \left(\frac{2}{5}\right)^3$.

Получаем неравенство:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 6} \ge \left(\frac{2}{5}\right)^3$.

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6 \le 3$

$x^2 - 9 \le 0$

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$, принадлежащих отрезку между корнями.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

3) $(0,04)^{3 - 0,5x^2} \ge 125$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Заметим, что $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$ и $125 = 5^3$.

Преобразуем левую часть:

$(0,04)^{3 - 0,5x^2} = (5^{-2})^{3 - 0,5x^2} = 5^{-2 \cdot (3 - 0,5x^2)} = 5^{-6 + x^2} = 5^{x^2 - 6}$.

Получаем неравенство:

$5^{x^2 - 6} \ge 5^3$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 6 \ge 3$

$x^2 - 9 \ge 0$

$(x - 3)(x + 3) \ge 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$ вне отрезка между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

4) $9^{0,5x^2 - 2,5} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию 3.

Преобразуем левую часть: $9 = 3^2$.

$9^{0,5x^2 - 2,5} = (3^2)^{0,5x^2 - 2,5} = 3^{2 \cdot (0,5x^2 - 2,5)} = 3^{x^2 - 5}$.

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^{(-1) \cdot (-4)} = 3^4$.

Получаем неравенство:

$3^{x^2 - 5} < 3^4$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 - 9 < 0$

$(x - 3)(x + 3) < 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Используя метод интервалов, находим, что неравенство выполняется для $x$ на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

346. 1) $7^{x^2 - 2x} > 343;$

2) $6^{3x - x^2} < 36;$

3) $\frac{3^x - 9}{3x^2 + 2} \le 0;$

4) $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} \ge 0.$

1) $7^{x^2-2x} > 343$

Решение

Представим число 343 как степень с основанием 7:

$343 = 7^3$

Тогда исходное неравенство примет вид:

$7^{x^2-2x} > 7^3$

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x^2 - 2x > 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или по теореме Виета, находим корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{2-4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2+4}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 3$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) $6^{3x-x^2} < 36$

Решение

Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{3x-x^2} < 6^2$

Так как основание степени $6 > 1$, функция возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x - x^2 < 2$

Перенесем все члены в одну часть:

$-x^2 + 3x - 2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < 1$ или $x > 2$.

В виде интервалов: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

3) $\frac{3^x - 9}{3x^2 + 2} \le 0$

Решение

Рассмотрим знаменатель дроби: $3x^2 + 2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$.

Следовательно, $3x^2 + 2 \ge 2$. Это означает, что знаменатель всегда положителен.

Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему:

$3^x - 9 \le 0$

Решим это показательное неравенство:

$3^x \le 9$

$3^x \le 3^2$

Основание степени $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 2$

Решение в виде интервала: $(-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} \ge 0$

Решение

Рассмотрим знаменатель дроби: $7 + 2x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$, то $2x^2 \ge 0$, и $7 + 2x^2 \ge 7$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4} \ge 0$

Решим это показательное неравенство:

$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{4}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^2$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x \le 2$

Решение в виде интервала: $(-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

347.1) $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x};$

2) $25 \cdot (5)^{-5x^2} \ge 125^{3x};$

3) $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x};$

4) $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}.$

1) Решение:
Приведем все части неравенства $27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{-4x}$ к общему основанию $\frac{1}{3}$.
Представим числа $27$ и $\frac{1}{9}$ в виде степеней с основанием $\frac{1}{3}$:
$27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$
$\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3x^2} \le \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{-4x}$
Используя свойства степеней $(a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn})$, упростим неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3 + 3x^2} \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-8x}$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$-3 + 3x^2 \ge -8x$
Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное неравенство:
$3x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=3 > 0$). Следовательно, неравенство $3x^2 + 8x - 3 \ge 0$ выполняется при значениях $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Решение:
Приведем все части неравенства $25 \cdot (5)^{-5x^2} \ge 125^{3x}$ к общему основанию $5$.
Представим числа $25$ и $125$ в виде степеней с основанием $5$:
$25 = 5^2$
$125 = 5^3$
Подставим эти выражения в неравенство:
$5^2 \cdot 5^{-5x^2} \ge (5^3)^{3x}$
Упростим неравенство, используя свойства степеней:
$5^{2 - 5x^2} \ge 5^{9x}$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \ge 9x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \ge 0$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$5x^2 + 9x - 2 \le 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Графиком функции $y = 5x^2 + 9x - 2$ является парабола с ветвями вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 + 9x - 2 \le 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2; \frac{1}{5}]$.

3) Решение:
Приведем все части неравенства $\sqrt{243} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\frac{1}{27}\right)^{-3x}$ к общему основанию $\frac{1}{3}$.
Представим $\sqrt{243}$ и $\frac{1}{27}$ как степени $\frac{1}{3}$:
$243 = 3^5$, поэтому $\sqrt{243} = (3^5)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{2}}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$
Подставим в неравенство:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{2}} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2} > \left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{-3x}$
Упростим:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{4x^2 - \frac{5}{2}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-9x}$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому меняем знак неравенства:
$4x^2 - \frac{5}{2} < -9x$
$4x^2 + 9x - \frac{5}{2} < 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x^2 + 18x - 5 < 0$
Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ имеет ветви вверх ($a=8 > 0$). Неравенство $8x^2 + 18x - 5 < 0$ выполняется строго между корнями.
Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{1}{4})$.

4) Решение:
Приведем все части неравенства $\sqrt{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\frac{1}{4}\right)^{4x}$ к общему основанию $\frac{1}{2}$.
Представим $\sqrt{8}$ и $\frac{1}{4}$ как степени $\frac{1}{2}$:
$8 = 2^3$, поэтому $\sqrt{8} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
Подставим в неравенство:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2} < \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{4x}$
Упростим:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{6x^2 - \frac{3}{2}} < \left(\frac{1}{2}\right)^{8x}$
Основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, поэтому меняем знак неравенства:
$6x^2 - \frac{3}{2} > 8x$
$6x^2 - 8x - \frac{3}{2} > 0$
Умножим на 2:
$12x^2 - 16x - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $12x^2 - 16x - 3 = 0$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$
Парабола $y = 12x^2 - 16x - 3$ имеет ветви вверх ($a=12 > 0$). Неравенство $12x^2 - 16x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

348. 1)

$36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)};$

2)

$25 \cdot 0,2^{x(3+x)} > 0,04^{2x};$

3)

$9^x - 10 \cdot 3^x \le -9;$

4)

$4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1.$

1) $36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 6.
Левая часть: $36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} = 6^2 \cdot (36^{-1})^{2x} = 6^2 \cdot ((6^2)^{-1})^{2x} = 6^2 \cdot (6^{-2})^{2x} = 6^2 \cdot 6^{-4x} = 6^{2-4x}$.
Правая часть: $6^{x(x-3)} = 6^{x^2-3x}$.
Получаем неравенство: $6^{2-4x} < 6^{x^2-3x}$.
Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2 - 4x < x^2 - 3x$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < x^2 - 3x + 4x - 2$
$x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

2) $25 \cdot 0,2^{x(3+x)} > 0,04^{2x}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 5.
$25 = 5^2$
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$
Левая часть: $25 \cdot 0,2^{x(3+x)} = 5^2 \cdot (5^{-1})^{x(3+x)} = 5^2 \cdot 5^{-x^2-3x} = 5^{2-3x-x^2}$.
Правая часть: $0,04^{2x} = (5^{-2})^{2x} = 5^{-4x}$.
Получаем неравенство: $5^{2-3x-x^2} > 5^{-4x}$.
Так как основание степени $5 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:
$2 - 3x - x^2 > -4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 3x + 4x + 2 > 0$
$-x^2 + x + 2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется при $x$ в интервале между корнями.
Следовательно, $x \in (-1, 2)$.

Ответ: $(-1, 2)$.

3) $9^x - 10 \cdot 3^x \le -9$

Решение:

Перепишем неравенство: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$.
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 - 10t + 9 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $t$ между корнями, включая сами корни.
$1 \le t \le 9$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$1 \le 3^x \le 9$.
Представим 1 и 9 как степени числа 3:
$3^0 \le 3^x \le 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$0 \le x \le 2$.

Ответ: $[0, 2]$.

4) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1$

Решение:

Перепишем неравенство, приведя его к одному основанию:
$4 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$
$4 \cdot (2^2)^x - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$
$4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Условие: $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$4t^2 - 3t - 1 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Парабола $y = 4t^2 - 3t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $t$ вне интервала между корнями.
$t < -\frac{1}{4}$ или $t > 1$.
Учитывая условие $t > 0$, решение $t < -\frac{1}{4}$ является посторонним.
Остается $t > 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$2^x > 1$.
$2^x > 2^0$.
Так как основание $2 > 1$, то для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x > 0$.

Ответ: $(0, +\infty)$.