Номер 343, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите показательные неравенства (343 – 352):

343. 1) $(\frac{1}{4})^{-3x} \le 8^2;$

2) $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2;$

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5;$

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36.$

1) $(\frac{1}{4})^{-3x} \le 8^2$

Решение:

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 2.

Преобразуем левую часть:

$(\frac{1}{4})^{-3x} = ( (2^2)^{-1} )^{-3x} = (2^{-2})^{-3x} = 2^{(-2) \cdot (-3x)} = 2^{6x}$.

Преобразуем правую часть:

$8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.

Теперь неравенство имеет вид:

$2^{6x} \le 2^6$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$6x \le 6$.

Разделим обе части на 6:

$x \le 1$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

2) $9^{-4x} > (\frac{1}{81})^2$

Решение:

Приведем обе части неравенства к общему основанию 3.

Левая часть:

$9^{-4x} = (3^2)^{-4x} = 3^{-8x}$.

Правая часть:

$(\frac{1}{81})^2 = (\frac{1}{3^4})^2 = (3^{-4})^2 = 3^{-8}$.

Неравенство принимает вид:

$3^{-8x} > 3^{-8}$.

Основание степени $a=3$ больше единицы ($a > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:

$-8x > -8$.

Разделим обе части на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 1$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

3) $5^{\frac{2x}{x+1}} > 5$

Решение:

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 5:

$5 = 5^1$.

Неравенство принимает вид:

$5^{\frac{2x}{x+1}} > 5^1$.

Основание степени $a=5$ больше единицы ($a > 1$), поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{2x}{x+1} > 1$.

Прежде чем решать это дробно-рациональное неравенство, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Теперь решим неравенство. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x+1} - 1 > 0$

$\frac{2x - (x+1)}{x+1} > 0$

$\frac{x-1}{x+1} > 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x-1}{x+1}$ в каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0$. Интервал $(1, \infty)$ является решением.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+1} = -1 < 0$. Интервал $(-1, 1)$ не является решением.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. Интервал $(-\infty, -1)$ является решением.

Объединяя интервалы, получаем решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

4) $6^{\frac{2x-1}{x}} < 36$

Решение:

Приведем обе части к основанию 6:

$36 = 6^2$.

Неравенство принимает вид:

$6^{\frac{2x-1}{x}} < 6^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для показателя: $x \neq 0$.

Основание степени $a=6$ больше единицы ($a > 1$), поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\frac{2x-1}{x} < 2$.

Решим это дробно-рациональное неравенство:

$\frac{2x-1}{x} - 2 < 0$

$\frac{2x-1 - 2x}{x} < 0$

$\frac{-1}{x} < 0$.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель -1 отрицателен, знаменатель $x$ должен быть положителен.

$x > 0$.

Решение $x > 0$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $(0, \infty)$.