Номер 336, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

336. 1) $\log_3 (x+1) - \log_3 (x-1) = 1$;

2) $\log_7 (x^2+6x) = 1$;

3) $\log_2 (x^2-x) = 1$;

4) $\log_4 (7x+4) - \log_4 (2x-1) = 1$.

1)

Дано:

$\log_3(x+1) - \log_3(x-1) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$.

$\log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 1$

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$\frac{x+1}{x-1} = 3^1$

$\frac{x+1}{x-1} = 3$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на $(x-1)$, так как из ОДЗ следует, что $x-1 \neq 0$:

$x+1 = 3(x-1)$

$x+1 = 3x - 3$

$1+3 = 3x-x$

$4 = 2x$

$x = 2$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $2 > 1$, корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2

2)

Дано:

$\log_7(x^2 + 6x) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$x^2 + 6x > 0$

$x(x+6) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$.

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$x^2 + 6x = 7^1$

$x^2 + 6x = 7$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = -7$

Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 1$ принадлежит интервалу $(0, +\infty)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -7$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -7; 1

3)

Дано:

$\log_2(x^2 - x) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x-1) > 0$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$x^2 - x = 2^1$

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 2$ принадлежит интервалу $(1, +\infty)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 2

4)

Дано:

$\log_4(7x+4) - \log_4(2x-1) = 1$

Найти:

x

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть положительными:

$\begin{cases} 7x+4 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -4 \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4/7 \\ x > 1/2 \end{cases}$.

Так как $1/2 > -4/7$, то ОДЗ: $x > 1/2$, или $x \in (1/2, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$.

$\log_4\left(\frac{7x+4}{2x-1}\right) = 1$

По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$.

$\frac{7x+4}{2x-1} = 4^1$

$\frac{7x+4}{2x-1} = 4$

Решим полученное уравнение, умножив обе части на $(2x-1)$, так как из ОДЗ следует, что $2x-1 \neq 0$:

$7x+4 = 4(2x-1)$

$7x+4 = 8x - 4$

$4+4 = 8x-7x$

$8 = x$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $8 > 1/2$, корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8