Номер 329, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

329.1)

1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$; 2) $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$;

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$; 4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0,5x}$.

1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$

Решение

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

Представим правую часть уравнения также в виде степени с основанием 3: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot 3^{\cos x} = 3^{3/2}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:

$3^{2 + \cos x} = 3^{3/2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \cos x = \frac{3}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\cos x$:

$\cos x = \frac{3}{2} - 2$

$\cos x = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1/2$, значение $\arccos(-1/2) = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение уравнения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$

Решение

Приведем все члены уравнения к основанию 2.

Представим число 4 как $2^2$.

Представим $\sqrt{8}$ как степень с основанием 2: $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^2 \cdot 2^{\sin x} = 2^{3/2}$

Упростим левую часть, сложив показатели степеней:

$2^{2 + \sin x} = 2^{3/2}$

Приравняем показатели степеней:

$2 + \sin x = \frac{3}{2}$

Выразим $\sin x$:

$\sin x = \frac{3}{2} - 2$

$\sin x = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ дается формулой $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -1/2$, значение $\arcsin(-1/2) = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$

Решение

Приведем все части уравнения к основанию 5.

$25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$.

$\sqrt{125^x} = \sqrt{(5^3)^x} = \sqrt{5^{3x}} = (5^{3x})^{1/2} = 5^{\frac{3x}{2}}$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$5^{-2} \cdot 5^{\frac{3x}{2}} = 5^x$

Упростим левую часть, сложив показатели:

$5^{-2 + \frac{3x}{2}} = 5^x$

Приравняем показатели степеней:

$-2 + \frac{3x}{2} = x$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$\frac{3x}{2} - x = 2$

$\frac{3x - 2x}{2} = 2$

$\frac{x}{2} = 2$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$

Решение

Приведем все части уравнения к основанию 6.

$216^{-1} = (6^3)^{-1} = 6^{-3}$.

$\sqrt{36^x} = \sqrt{(6^2)^x} = \sqrt{6^{2x}} = (6^{2x})^{1/2} = 6^{\frac{2x}{2}} = 6^x$.

Показатель в правой части $0.5x$ можно записать как $\frac{x}{2}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$6^{-3} \cdot 6^x = 6^{\frac{x}{2}}$

Сложим показатели степеней в левой части:

$6^{-3 + x} = 6^{\frac{x}{2}}$

Приравняем показатели:

$-3 + x = \frac{x}{2}$

Решим полученное уравнение:

$x - \frac{x}{2} = 3$

$\frac{2x - x}{2} = 3$

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 6$

Ответ: $x = 6$.