Номер 327, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

327.1)

1) $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x;$

2) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x;$

3) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3;$

4) $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2.$

1)

Решение:

Исходное уравнение: $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin x \le 1$.

2. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos x \ge 0$. Это соответствует углам $x$ в I и IV четвертях, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{1 - \sin x})^2 = (\cos x)^2$

$1 - \sin x = \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$

Перенесём все члены в левую часть:

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\sin x = 0$

б) $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$

Рассмотрим каждый случай и проверим соответствие условию ОДЗ ($\cos x \ge 0$).

а) Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При $k$ чётном, то есть $k=2n$, имеем $x=2\pi n$. Тогда $\cos(2\pi n) = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.

При $k$ нечётном, то есть $k=2n+1$, имеем $x=(2n+1)\pi$. Тогда $\cos((2n+1)\pi) = -1 < 0$. Эти корни являются посторонними.

Таким образом, из этого случая получаем решения $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяя найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ:
1. $1 - \cos x \ge 0$, что верно для всех $x$, так как $\cos x \le 1$.
2. $\sin x \ge 0$, так как значение корня неотрицательно. Это соответствует углам $x$ в I и II четвертях: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Возведём обе части в квадрат:

$1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x - \cos x = 0$

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

б) $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$

Проверим решения с учётом ОДЗ ($\sin x \ge 0$).

а) Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 \ge 0$. Корни подходят.

При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1 < 0$. Корни посторонние.

Получаем решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие: $\sin(2\pi n) = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$.

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными.
$\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$.
Оба неравенства выполняются, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковый знак, и знаменатели не равны нулю.
1. $x > 0$ и $x+1 > 0 \Rightarrow x > 0$.
2. $x < 0$ и $x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратны. Сделаем замену.
Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Так как $x \ne 0$, то $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 2 = 3y$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1=1, y_2=2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $y>0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y = 1$.

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = x+1 \Rightarrow 0 = 1$.
Получили неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y = 2$.

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2 \Rightarrow \frac{x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = 4(x+1) \Rightarrow x = 4x + 4 \Rightarrow -3x = 4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$.

Проверим, принадлежит ли корень $x = -4/3$ ОДЗ.
$-4/3 \approx -1.33$, что меньше $-1$. Корень принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, значит, является решением.

Ответ: $x = -4/3$.

4)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{x-1} \ge 0$. Также $x \ne 0, x \ne 1$.
Неравенства выполняются, когда $x-1$ и $x$ одного знака.
1. $x-1 > 0$ и $x > 0 \Rightarrow x > 1$.
2. $x-1 < 0$ и $x < 0 \Rightarrow x < 0$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$. Так как $x \ne 1$, то $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{3}{y} = 2$

Умножим на $y$ ($y \ne 0$):

$y^2 - 3 = 2y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=3, y_2=-1$.

Так как по определению замены $y > 0$, корень $y = -1$ является посторонним. Остаётся $y=3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}} = 3$

Возведём в квадрат:

$\frac{x-1}{x} = 9$

$x-1 = 9x$

$-1 = 8x$

$x = -\frac{1}{8}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -1/8$ ОДЗ.
$-1/8 = -0.125$, что меньше $0$. Корень принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, значит, является решением.

Ответ: $x = -1/8$.