Номер 328, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите показательные уравнения (328 – 333):

328.1) $\sqrt{3^x} = 27^{-\frac{2}{3}}$;

2) $\sqrt{5^x} = 25^{-\frac{3}{2}}$;

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{-\frac{3}{4}}$;

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-0,5}$.

1)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3^x} = 27^{-\frac{2}{3}}$. Чтобы его решить, необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае, это основание 3.
Левая часть уравнения: $\sqrt{3^x}$ можно представить как степень с рациональным показателем: $(3^x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть уравнения: число 27 является степенью тройки: $27 = 3^3$. Тогда $27^{-\frac{2}{3}} = (3^3)^{-\frac{2}{3}}$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 3^{-2}$.
Теперь уравнение выглядит так: $3^{\frac{x}{2}} = 3^{-2}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $\frac{x}{2} = -2$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$: $x = -4$.
Ответ: -4.

2)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{5^x} = 25^{-\frac{3}{2}}$. Приведем обе части к основанию 5.
Левая часть: $\sqrt{5^x} = 5^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть: так как $25 = 5^2$, то $25^{-\frac{3}{2}} = (5^2)^{-\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 5^{-3}$.
Получаем уравнение: $5^{\frac{x}{2}} = 5^{-3}$.
Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = -3$.
Отсюда $x = -6$.
Ответ: -6.

3)

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{-\frac{3}{4}}$. Приведем все его части к основанию 2.
Преобразуем каждый множитель: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$\sqrt{2^{3x-1}} = (2^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3x-1}{2}}$.
$16 = 2^4$, следовательно $16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-3}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $2^{-2} \cdot 2^{\frac{3x-1}{2}} = 2^{-3}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 2^{-3}$.
Теперь приравниваем показатели: $-2 + \frac{3x-1}{2} = -3$.
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$\frac{3x-1}{2} = -3 + 2$
$\frac{3x-1}{2} = -1$
$3x - 1 = -2$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4)

Рассмотрим уравнение $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = (\frac{1}{9})^{-0.5}$. Приведем все части к основанию 3.
Преобразуем левую часть уравнения: $27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$.
$\sqrt{9^{x+1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}} = \sqrt{3^{2(x+1)}} = (3^{2(x+1)})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2(x+1)}{2}} = 3^{x+1}$.
Левая часть примет вид: $3^{-3} \cdot 3^{x+1} = 3^{-3+x+1} = 3^{x-2}$.
Преобразуем правую часть уравнения: $(\frac{1}{9})^{-0.5} = (9^{-1})^{-0.5} = 9^{0.5} = \sqrt{9} = 3$. Это можно также записать через основание 3: $(3^{-2})^{-0.5} = 3^{(-2) \cdot (-0.5)} = 3^1 = 3$.
Теперь уравнение имеет вид: $3^{x-2} = 3^1$.
Приравниваем показатели степеней: $x-2 = 1$.
Отсюда $x = 3$.
Ответ: 3.