Номер 321, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

321.1) $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24} = -3;$

2) $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45} = 2;$

3) $\frac{2 \log_{11} 5 + 2 \log_{11} 2}{2 \log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3 \log_{11} 2} = 2;$

4) $\frac{3 \lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15} = 5.$

1)

Дано:

Выражение $\frac{\log_5 3 + \log_5 9}{3\log_5 2 - \log_5 24}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $-3$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами логарифмов:

Сумма логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$.

Разность логарифмов: $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$.

Свойство степени: $n \log_a x = \log_a(x^n)$.

1. Преобразуем числитель дроби, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_5 3 + \log_5 9 = \log_5(3 \cdot 9) = \log_5 27$.

2. Преобразуем знаменатель дроби, используя свойства степени и разности логарифмов:

$3\log_5 2 - \log_5 24 = \log_5(2^3) - \log_5 24 = \log_5 8 - \log_5 24 = \log_5(\frac{8}{24}) = \log_5(\frac{1}{3})$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_5 27}{\log_5(\frac{1}{3})}$.

4. Упростим полученное выражение, представив числа под логарифмом в виде степеней: $27 = 3^3$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$\frac{\log_5(3^3)}{\log_5(3^{-1})} = \frac{3\log_5 3}{-1\log_5 3}$.

5. Сократим общий множитель $\log_5 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3}{-1} = -3$.

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: $-3$.

2)

Дано:

Выражение $\frac{\log_6 75 - \log_6 3}{2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $2$.

Решение:

1. Преобразуем числитель, используя свойство разности логарифмов:

$\log_6 75 - \log_6 3 = \log_6(\frac{75}{3}) = \log_6 25$.

2. Преобразуем знаменатель, используя свойства степени и суммы логарифмов:

$2\log_6 \frac{1}{3} + \log_6 45 = \log_6((\frac{1}{3})^2) + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9}) + \log_6 45 = \log_6(\frac{1}{9} \cdot 45) = \log_6(\frac{45}{9}) = \log_6 5$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\log_6 25}{\log_6 5}$.

4. Упростим выражение, зная что $25 = 5^2$:

$\frac{\log_6(5^2)}{\log_6 5} = \frac{2\log_6 5}{\log_6 5}$.

5. Сократим общий множитель $\log_6 5$:

$\frac{2}{1} = 2$.

Равенство верно.

Ответ: $2$.

3)

Дано:

Выражение $\frac{2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2}{2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2}$.

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $2$.

Решение:

1. Преобразуем числитель:

$2\log_{11} 5 + 2\log_{11} 2 = \log_{11}(5^2) + \log_{11}(2^2) = \log_{11} 25 + \log_{11} 4 = \log_{11}(25 \cdot 4) = \log_{11} 100$.

2. Преобразуем знаменатель:

$2\log_{11} 4 + \log_{11} 5 - 3\log_{11} 2 = \log_{11}(4^2) + \log_{11} 5 - \log_{11}(2^3) = \log_{11} 16 + \log_{11} 5 - \log_{11} 8$.

Объединим логарифмы: $\log_{11}(\frac{16 \cdot 5}{8}) = \log_{11}(\frac{80}{8}) = \log_{11} 10$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\log_{11} 100}{\log_{11} 10}$.

4. Упростим, используя $100 = 10^2$:

$\frac{\log_{11}(10^2)}{\log_{11} 10} = \frac{2\log_{11} 10}{\log_{11} 10}$.

5. Сократим общий множитель $\log_{11} 10$:

$\frac{2}{1} = 2$.

Равенство верно.

Ответ: $2$.

4)

Дано:

Выражение $\frac{3\lg 4 + \lg 0,5}{\lg 30 - \lg 15}$. (lg - это десятичный логарифм $\log_{10}$)

Найти:

Доказать, что значение выражения равно $5$.

Решение:

1. Преобразуем числитель:

$3\lg 4 + \lg 0,5 = \lg(4^3) + \lg 0,5 = \lg 64 + \lg 0,5 = \lg(64 \cdot 0,5) = \lg 32$.

2. Преобразуем знаменатель:

$\lg 30 - \lg 15 = \lg(\frac{30}{15}) = \lg 2$.

3. Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\lg 32}{\lg 2}$.

4. Упростим, используя $32 = 2^5$:

$\frac{\lg(2^5)}{\lg 2} = \frac{5\lg 2}{\lg 2}$.

5. Сократим общий множитель $\lg 2$:

$\frac{5}{1} = 5$.

Равенство верно.

Ответ: $5$.