Номер 322, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

322. 1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100;$

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27;$

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36;$

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54.$

1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100$

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя свойства степеней и логарифмов. Сначала рассмотрим первый множитель:

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5}$

Используя свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 5^2} = 3^{\log_3 25}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3 25} = 25$

Теперь рассмотрим второй множитель:

$13^{2\log_{13} 2} = 13^{\log_{13} 2^2} = 13^{\log_{13} 4}$

По основному логарифмическому тождеству:

$13^{\log_{13} 4} = 4$

Перемножим полученные значения:

$25 \cdot 4 = 100$

Так как левая часть равна $100$, равенство верно.

Ответ: Равенство $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100$ верно.

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$

Решение:

Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим показатель степени, вынеся $\log_7 3$ за скобки:

$\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3 = (1 + \frac{1}{2}) \log_7 3 = \frac{3}{2} \log_7 3$

Подставим упрощенный показатель обратно в выражение:

$49^{\frac{3}{2}\log_7 3}$

Представим основание $49$ как $7^2$:

$(7^2)^{\frac{3}{2}\log_7 3} = 7^{2 \cdot \frac{3}{2}\log_7 3} = 7^{3\log_7 3}$

Используя свойство $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$7^{3\log_7 3} = 7^{\log_7 3^3} = 7^{\log_7 27}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 27} = 27$

Левая часть равна $27$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$ верно.

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36$

Решение:

Рассмотрим каждый множитель в левой части отдельно.

Первый множитель: $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$. Преобразуем логарифм, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ (перейдем к основанию 5):

$\log_{\sqrt{5}} 2 = \frac{\log_5 2}{\log_5 \sqrt{5}} = \frac{\log_5 2}{\log_5 5^{1/2}} = \frac{\log_5 2}{1/2} = 2\log_5 2$

Тогда первый множитель равен:

$5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

Второй множитель: $121^{\log_{11} 3}$. Представим $121$ как $11^2$:

$121^{\log_{11} 3} = (11^2)^{\log_{11} 3} = 11^{2\log_{11} 3} = 11^{\log_{11} 3^2} = 11^{\log_{11} 9} = 9$

Перемножим результаты:

$4 \cdot 9 = 36$

Левая часть равна $36$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36$ верно.

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$

Решение:

Вычислим значение каждого компонента выражения по порядку.

Делимое в скобках: $8^{\log_2 3}$. Представим $8$ как $2^3$:

$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} = 27$

Делитель в скобках: $27^{\log_3 2}$. Представим $27$ как $3^3$:

$27^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2} = 3^{3\log_3 2} = 3^{\log_3 2^3} = 3^{\log_3 8} = 8$

Результат деления в скобках:

$27 : 8 = \frac{27}{8}$

Второй множитель: $25^{\log_5 4}$. Представим $25$ как $5^2$:

$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$

Теперь выполним умножение:

$\frac{27}{8} \cdot 16 = 27 \cdot \frac{16}{8} = 27 \cdot 2 = 54$

Левая часть равна $54$, следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$ верно.