Номер 316, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

316. 1) $\left(\frac{b^{\frac{1}{2}}+6}{b^{\frac{3}{2}}-6b}-\frac{b^{0,5}-6}{b^{1,5}+6b}\right):\frac{2b^{0,5}}{b-36}$

2) $\left(\frac{7}{b-7b^{0,5}}-\frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2-49b}\right)\cdot\frac{b^{0,5}+7}{49+7b^{\frac{1}{2}}-b}$

1)

Дано:

$\left(\frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b}\right) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}$

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Для удобства будем использовать запись $b^{0.5}$ вместо $b^{\frac{1}{2}}$ и $b^{1.5}$ вместо $b^{\frac{3}{2}}$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Для этого преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$b^{1.5} - 6b = b \cdot b^{0.5} - 6b = b(b^{0.5} - 6)$

$b^{1.5} + 6b = b \cdot b^{0.5} + 6b = b(b^{0.5} + 6)$

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)$:

$\frac{b^{0.5} + 6}{b(b^{0.5} - 6)} - \frac{b^{0.5} - 6}{b(b^{0.5} + 6)} = \frac{(b^{0.5} + 6)(b^{0.5} + 6) - (b^{0.5} - 6)(b^{0.5} - 6)}{b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)} = \frac{(b^{0.5} + 6)^2 - (b^{0.5} - 6)^2}{b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$, где $a = b^{0.5} + 6$ и $c = b^{0.5} - 6$:

$(b^{0.5} + 6 - (b^{0.5} - 6))(b^{0.5} + 6 + b^{0.5} - 6) = (b^{0.5} + 6 - b^{0.5} + 6)(2b^{0.5}) = 12 \cdot 2b^{0.5} = 24b^{0.5}$

В знаменателе также применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$b(b^{0.5} - 6)(b^{0.5} + 6) = b((b^{0.5})^2 - 6^2) = b(b - 36)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)}$

2. Теперь выполним деление:

$\frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)} : \frac{2b^{0.5}}{b - 36} = \frac{24b^{0.5}}{b(b - 36)} \cdot \frac{b - 36}{2b^{0.5}}$

Сократим общие множители $(b - 36)$ и $b^{0.5}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{24}{b \cdot 2} = \frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$

2)

Дано:

$\left(\frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b}\right) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}$

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$b - 7b^{0.5} = b^{0.5}(b^{0.5} - 7)$

$b^2 - 49b = b(b - 49) = b(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)$

Выражение в скобках принимает вид:

$\frac{7}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)} - \frac{b^{1.5}}{b(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

Сократим вторую дробь: $\frac{b^{1.5}}{b} = b^{1.5 - 1} = b^{0.5}$. Получим:

$\frac{7}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)} - \frac{b^{0.5}}{(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)$:

$\frac{7(b^{0.5} + 7) - b^{0.5} \cdot b^{0.5}}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} = \frac{7b^{0.5} + 49 - b}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)}$

2. Теперь выполним умножение. Заметим, что знаменатель второй дроби $49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b$ совпадает с числителем, который мы получили в результате вычитания.

$\frac{49 + 7b^{0.5} - b}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{0.5} - b}$

Сократим одинаковые выражения $(49 + 7b^{0.5} - b)$:

$\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)(b^{0.5} + 7)} \cdot (b^{0.5} + 7)$

Сократим $(b^{0.5} + 7)$:

$\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)}$

Это выражение можно также записать в виде $\frac{1}{b - 7b^{0.5}}$.

Ответ: $\frac{1}{b^{0.5}(b^{0.5} - 7)}$