Номер 312, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

312. 1) $F(x) = x + \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

2) $F(x) = \cos x^4$, $f(x) = -4x^3 \sin x^4$, $x \in R$

3) $F(x) = -1,5 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$, $f(x) = -\frac{3}{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$, $x \in R$

4) $F(x) = -\ctg 5x + 5x$; $f(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2 5x} + 1\right)$, $x \in \left(0; \frac{\pi}{5}\right)$

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка, то есть $F'(x) = f(x)$.

1) $F(x) = x + \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$. Запишем функцию в виде $F(x) = x + x^{-1}$.

Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем: $F'(x) = (x + x^{-1})' = (x)' + (x^{-1})' = 1 + (-1) \cdot x^{-1-1} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

Приведем выражение к общему знаменателю: $F'(x) = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Да, является.

2) $F(x) = \cos(x^4)$, $f(x) = -4x^3 \sin(x^4)$, $x \in R$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = \cos u$, а внутренняя $h(x) = x^4$. Их производные: $g'(u) = -\sin u$ и $h'(x) = 4x^3$.

$F'(x) = (\cos(x^4))' = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

3) $F(x) = -1,5\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4})$, $x \in R$

Решение

Запишем коэффициент $-1,5$ в виде дроби $-\frac{3}{2}$: $F(x) = -\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$.

Для нахождения производной применим цепное правило для производной сложной функции: $F'(x) = \left(-\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8})\right)' = -\frac{3}{2} \cdot 2\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (\sin(x + \frac{\pi}{8}))' = -3\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot \cos(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (x + \frac{\pi}{8})' = -3\sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x + \frac{\pi}{8})$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, из которой $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

При $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$: $F'(x) = -3 \cdot \frac{1}{2}\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{3}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{8}\right) = -\frac{3}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

4) $F(x) = -\text{ctg } 5x + 5x$, $f(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2 5x} + 1\right)$, $x \in (0; \frac{\pi}{5})$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$ как производную суммы: $F'(x) = (-\text{ctg } 5x + 5x)' = (-\text{ctg } 5x)' + (5x)'$.

Производная второго слагаемого: $(5x)' = 5$. Для производной первого слагаемого используем цепное правило. Зная, что $(\text{ctg } u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$ и $(5x)'=5$, получаем: $(-\text{ctg } 5x)' = -(\text{ctg } 5x)' = - \left(-\frac{1}{\sin^2(5x)}\right) \cdot (5x)' = \frac{1}{\sin^2(5x)} \cdot 5 = \frac{5}{\sin^2(5x)}$.

Складываем результаты: $F'(x) = \frac{5}{\sin^2(5x)} + 5$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $F'(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2(5x)} + 1\right)$.

На промежутке $(0; \frac{\pi}{5})$ все функции определены. Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.