Номер 311, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Докажите, что функции $F(x)$ являются первообразными для функции $f(x)$ (311 – 313):

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$;

2) $F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

3) $F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$;

4) $F(x) = 2\cos(4x - 1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$, $x \in R$.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке.

311. 1)

Дано:

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (4\sqrt{x-3} + 2)'$

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования суммы, производной константы и производной сложной функции (в частности, степенной функции $u^{1/2}$):

$F'(x) = (4(x-3)^{\frac{1}{2}})' + (2)' = 4 \cdot \frac{1}{2}(x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-3)' + 0$

$F'(x) = 2(x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{2}{(x-3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на всем промежутке определения $x \in (3; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Дано:

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x})' = (\frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}})'$

Используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} - 16 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{6}{12}x^5 - 8x^{-\frac{1}{2}}$

$F'(x) = \frac{1}{2}x^5 - \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на всем промежутке определения $x \in (0; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Дано:

$F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (x^3 - 3\sin x)'$

Используя правило дифференцирования разности, производную степенной функции и производную синуса, получаем:

$F'(x) = (x^3)' - (3\sin x)' = 3x^{3-1} - 3\cos x = 3x^2 - 3\cos x$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ для всех действительных чисел $x \in R$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Дано:

$F(x) = 2\cos(4x-1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x-1) + 49x^6$, $x \in R$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (2\cos(4x-1) + 7x^7)'$

Используя правило дифференцирования суммы, производную сложной функции для косинуса $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$ и производную степенной функции, получаем:

$F'(x) = (2\cos(4x-1))' + (7x^7)'$

$F'(x) = 2(-\sin(4x-1)) \cdot (4x-1)' + 7 \cdot 7x^{7-1}$

$F'(x) = -2\sin(4x-1) \cdot 4 + 49x^6 = -8\sin(4x-1) + 49x^6$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ для всех действительных чисел $x \in R$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.