Номер 305, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

305.1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$;

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$;

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$;

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$.

1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$
Решение:
Используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под один корень:
$\sqrt[6]{(2^7 \cdot 3^2) \cdot (2^5 \cdot 3)} = \sqrt[6]{2^7 \cdot 3^2 \cdot 2^5 \cdot 3^1}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{2^{7+5} \cdot 3^{2+1}} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^3}$
Упростим, извлекая корень из каждого множителя по правилу $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$:
$\sqrt[6]{2^{12}} \cdot \sqrt[6]{3^3} = 2^{12/6} \cdot 3^{3/6} = 2^2 \cdot 3^{1/2} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$
Решение:
Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для корней с одинаковым показателем:
$\sqrt[5]{(5^3 \cdot 6^2) \cdot (5^{12} \cdot 6^3)} = \sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2 \cdot 5^{12} \cdot 6^3}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[5]{5^{3+12} \cdot 6^{2+3}} = \sqrt[5]{5^{15} \cdot 6^5}$
Извлечем корень из каждого множителя под корнем:
$\sqrt[5]{5^{15}} \cdot \sqrt[5]{6^5} = 5^{15/5} \cdot 6^{5/5} = 5^3 \cdot 6^1 = 125 \cdot 6 = 750$.
Ответ: $750$.

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$
Решение:
Объединим подкоренные выражения под один знак корня восьмой степени:
$\sqrt[8]{(4^5 \cdot 7^7) \cdot (4^7 \cdot 7)} = \sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7 \cdot 4^7 \cdot 7^1}$
Перемножим степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[8]{4^{5+7} \cdot 7^{7+1}} = \sqrt[8]{4^{12} \cdot 7^8}$
Представим основание $4$ как $2^2$ для удобства извлечения корня:
$\sqrt[8]{(2^2)^{12} \cdot 7^8} = \sqrt[8]{2^{2 \cdot 12} \cdot 7^8} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 2^{24/8} \cdot 7^{8/8} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: $56$.

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$
Решение:
Воспользуемся свойством произведения корней, чтобы объединить выражения под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 5)} = \sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \cdot 5^1}$
Сгруппируем и перемножим степени:
$\sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 5^{3+1}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 5^4}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{5^4} = 2^{8/4} \cdot 5^{4/4} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: $20$.