Номер 309, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

309. Найдите:

1) значение a, если $log_3 a = \frac{1}{2}$;

2) значение b, если $log_b \frac{1}{81} = -4$;

3) значение c, если $log_6 c = 3$;

4) значение m, если $log_m 0,25 = -4$.

1) значение a, если $\log_3 a = \frac{1}{2}$;

По определению логарифма, если $\log_x y = z$, то $x^z = y$.

В данном случае, основание логарифма $x=3$, значение логарифма $z = \frac{1}{2}$, а число под знаком логарифма $y=a$.

Применяя определение, получаем уравнение: $3^{\frac{1}{2}} = a$.

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню.

Следовательно, $a = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \sqrt{3}$.

2) значение b, если $\log_b \frac{1}{81} = -4$;

Используем определение логарифма: $\log_x y = z \Leftrightarrow x^z = y$.

В нашем уравнении $x=b$, $y = \frac{1}{81}$, $z = -4$.

Подставляя эти значения в определение, получаем: $b^{-4} = \frac{1}{81}$.

Отрицательная степень $b^{-4}$ равна $\frac{1}{b^4}$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $\frac{1}{b^4} = \frac{1}{81}$.

Отсюда следует, что $b^4 = 81$.

Представим 81 как степень с основанием 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Получаем уравнение $b^4 = 3^4$.

Поскольку основание логарифма $b$ должно быть положительным и не равным 1 ($b > 0, b \neq 1$), единственным решением является $b=3$.

Ответ: $b = 3$.

3) значение c, если $\log_6 c = 3$;

Согласно определению логарифма, равенство $\log_x y = z$ равносильно $x^z = y$.

Для данного уравнения имеем: основание $x=6$, значение логарифма $z=3$, число под знаком логарифма $y=c$.

Применяем определение: $6^3 = c$.

Вычисляем значение $6^3$: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$.

Следовательно, $c = 216$.

Ответ: $c = 216$.

4) значение m, если $\log_m 0,25 = -4$.

Снова воспользуемся определением логарифма: $\log_x y = z \Leftrightarrow x^z = y$.

В этом уравнении $x=m$, $y = 0,25$, $z = -4$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид: $\log_m \frac{1}{4} = -4$.

Применяем определение логарифма: $m^{-4} = \frac{1}{4}$.

Перепишем левую часть с положительным показателем степени: $\frac{1}{m^4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $m^4 = 4$.

Чтобы найти $m$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения: $m = \sqrt[4]{4}$.

Упростим выражение: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Основание логарифма $m$ должно быть положительным и не равным 1. Значение $m = \sqrt{2}$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $m = \sqrt{2}$.