Номер 314, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упростите выражения (314—317):

314.1) $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b});

2) $\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}};

3) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}};

4) $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}.

1)

Решение:

Данное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$ представляет собой произведение разности и суммы двух членов. Для его упрощения применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$.

Подставим наши значения в формулу: $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2$.

Поскольку $(\sqrt{x})^2 = x$, получаем: $a - (a-b) = a - a + b = b$.

Выражение имеет смысл при условиях $a \ge 0$ и $a-b \ge 0$, то есть $a \ge b$.

Ответ: $b$.

2)

Решение:

Рассмотрим выражение под внешним корнем: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение под корнем: $(a + 2\sqrt{ab} + b) - 4\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b$.

Выражение $a - 2\sqrt{ab} + b$ является полным квадратом разности, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Следовательно, его можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$.

Выражение определено при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$.

3)

Решение:

Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$: $a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a^1 - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a-4)$.

В знаменателе приведем степени к общему знаменателю 6, то есть $a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}}$. Затем вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{2}{6}}$: $a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{2}{6}}(a^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{a^{\frac{1}{3}}(a-4)}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)}$.

Сокращаем общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ (при $a \neq 0$): $\frac{a-4}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Числитель $a-4$ является разностью квадратов, так как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $4 = 2^2$. Разложим его на множители: $a-4 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)$.

Подставим разложение в дробь и выполним сокращение: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)}{a^{\frac{1}{2}} - 2} = a^{\frac{1}{2}} + 2$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + 2$.

4)

Решение:

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$.

Приведем степень $a^{\frac{1}{2}}$ к знаменателю 6: $a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}}$. Дробь примет вид: $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{3}{6}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{3}{6}}}$.

Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$: $\frac{a^{\frac{3}{6}}(a^{\frac{23}{6} - \frac{3}{6}} - 25)}{a^{\frac{3}{6}}(a^{\frac{13}{6} - \frac{3}{6}} - 5)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{20}{6}} - 25)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{6}} - 5)}$.

Сократим на $a^{\frac{1}{2}}$ (при $a \neq 0$) и упростим показатели степеней: $\frac{a^{\frac{10}{3}} - 25}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Числитель $a^{\frac{10}{3}} - 25$ можно разложить по формуле разности квадратов, так как $a^{\frac{10}{3}} = (a^{\frac{5}{3}})^2$: $a^{\frac{10}{3}} - 25 = (a^{\frac{5}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)$.

Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{(a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{5}{3}} - 5)$ и получим окончательный результат: $a^{\frac{5}{3}} + 5$.

Ответ: $a^{\frac{5}{3}} + 5$.