Страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

310. Если $ \log_7 3 = a $ и $ \log_7 5 = b $, то найдите:

1) $ \log_7 25 - \log_7 243 $;

2) $ \log_{125} 81 + 2 \log_7 15 $;

3) $ \frac{1}{2} \log_7 441 - \log_5 9 $;

4) $ \log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245 $.

Дано:

$ \log_7 3 = a $

$ \log_7 5 = b $

Найти:

Значения выражений, выраженные через $a$ и $b$.

Решение:

Для решения задачи будем использовать следующие свойства логарифмов:

1. $ \log_c (x \cdot y) = \log_c x + \log_c y $ (логарифм произведения)

2. $ \log_c (x / y) = \log_c x - \log_c y $ (логарифм частного)

3. $ \log_c (x^k) = k \cdot \log_c x $ (логарифм степени)

4. $ \log_c c = 1 $

5. $ \log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c} $ (формула перехода к новому основанию)

1) $ \log_7 25 - \log_7 243 $

Представим числа 25 и 243 в виде степеней чисел 3 и 5:

$ 25 = 5^2 $

$ 243 = 3^5 $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \log_7 25 - \log_7 243 = \log_7 (5^2) - \log_7 (3^5) $

Используя свойство логарифма степени, вынесем показатели степени за знак логарифма:

$ 2 \log_7 5 - 5 \log_7 3 $

Теперь подставим данные из условия $ \log_7 3 = a $ и $ \log_7 5 = b $:

$ 2b - 5a $

Ответ: $ 2b - 5a $

2) $ \log_{125} 81 + 2 \log_7 15 $

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $ \log_{125} 81 $ перейдем к основанию 7, используя формулу перехода к новому основанию:

$ \log_{125} 81 = \frac{\log_7 81}{\log_7 125} $

Представим 81 и 125 в виде степеней:

$ 81 = 3^4 $

$ 125 = 5^3 $

$ \frac{\log_7 (3^4)}{\log_7 (5^3)} = \frac{4 \log_7 3}{3 \log_7 5} = \frac{4a}{3b} $

Для второго слагаемого $ 2 \log_7 15 $ представим 15 как произведение 3 и 5:

$ 15 = 3 \cdot 5 $

$ 2 \log_7 15 = 2 \log_7 (3 \cdot 5) $

Используя свойство логарифма произведения:

$ 2 (\log_7 3 + \log_7 5) = 2(a + b) $

Теперь сложим полученные выражения:

$ \frac{4a}{3b} + 2(a + b) = \frac{4a}{3b} + 2a + 2b = \frac{4a + 2a \cdot 3b + 2b \cdot 3b}{3b} = \frac{4a + 6ab + 6b^2}{3b} $

Ответ: $ \frac{4a + 6ab + 6b^2}{3b} $

3) $ \frac{1}{2}\log_7 441 - \log_5 9 $

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $ \frac{1}{2}\log_7 441 $ разложим 441 на множители. $ 441 = 21^2 = (3 \cdot 7)^2 = 3^2 \cdot 7^2 $.

$ \frac{1}{2}\log_7 (441) = \frac{1}{2}\log_7 (21^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_7 21 = \log_7 (3 \cdot 7) $

Используя свойство логарифма произведения:

$ \log_7 3 + \log_7 7 = a + 1 $

Для второго слагаемого $ \log_5 9 $ перейдем к основанию 7:

$ \log_5 9 = \frac{\log_7 9}{\log_7 5} $

Представим 9 как $3^2$:

$ \frac{\log_7 (3^2)}{\log_7 5} = \frac{2 \log_7 3}{\log_7 5} = \frac{2a}{b} $

Теперь вычтем второе из первого:

$ (a + 1) - \frac{2a}{b} = \frac{(a + 1)b}{b} - \frac{2a}{b} = \frac{ab + b - 2a}{b} $

Ответ: $ \frac{ab + b - 2a}{b} $

4) $ \log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245 $

Внесем множитель 3 под знак логарифма во втором слагаемом и используем свойство суммы логарифмов:

$ \log_{15} 21 + \log_{15} (245^3) = \log_{15} (21 \cdot 245^3) $

Перейдем к основанию 7:

$ \log_{15} (21 \cdot 245^3) = \frac{\log_7 (21 \cdot 245^3)}{\log_7 15} $

Разложим числа в аргументе и основании логарифма на простые множители:

$ 15 = 3 \cdot 5 $

$ 21 = 3 \cdot 7 $

$ 245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2 $

Найдем логарифм знаменателя:

$ \log_7 15 = \log_7 (3 \cdot 5) = \log_7 3 + \log_7 5 = a + b $

Найдем логарифм числителя:

$ \log_7 (21 \cdot 245^3) = \log_7 ( (3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7^2)^3 ) = \log_7 (3 \cdot 7 \cdot 5^3 \cdot 7^6) = \log_7 (3 \cdot 5^3 \cdot 7^7) $

Используя свойства логарифмов:

$ \log_7 3 + \log_7 (5^3) + \log_7 (7^7) = \log_7 3 + 3\log_7 5 + 7\log_7 7 = a + 3b + 7 \cdot 1 = a + 3b + 7 $

Теперь составим дробь:

$ \frac{a + 3b + 7}{a + b} $

Ответ: $ \frac{a + 3b + 7}{a + b} $

Докажите, что функции $F(x)$ являются первообразными для функции $f(x)$ (311 – 313):

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$;

2) $F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

3) $F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$;

4) $F(x) = 2\cos(4x - 1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$, $x \in R$.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке.

311. 1)

Дано:

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (4\sqrt{x-3} + 2)'$

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования суммы, производной константы и производной сложной функции (в частности, степенной функции $u^{1/2}$):

$F'(x) = (4(x-3)^{\frac{1}{2}})' + (2)' = 4 \cdot \frac{1}{2}(x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-3)' + 0$

$F'(x) = 2(x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{2}{(x-3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на всем промежутке определения $x \in (3; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Дано:

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x})' = (\frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}})'$

Используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} - 16 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{6}{12}x^5 - 8x^{-\frac{1}{2}}$

$F'(x) = \frac{1}{2}x^5 - \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на всем промежутке определения $x \in (0; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Дано:

$F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (x^3 - 3\sin x)'$

Используя правило дифференцирования разности, производную степенной функции и производную синуса, получаем:

$F'(x) = (x^3)' - (3\sin x)' = 3x^{3-1} - 3\cos x = 3x^2 - 3\cos x$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ для всех действительных чисел $x \in R$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4)

Дано:

$F(x) = 2\cos(4x-1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x-1) + 49x^6$, $x \in R$

Найти:

Доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$.

$F'(x) = (2\cos(4x-1) + 7x^7)'$

Используя правило дифференцирования суммы, производную сложной функции для косинуса $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$ и производную степенной функции, получаем:

$F'(x) = (2\cos(4x-1))' + (7x^7)'$

$F'(x) = 2(-\sin(4x-1)) \cdot (4x-1)' + 7 \cdot 7x^{7-1}$

$F'(x) = -2\sin(4x-1) \cdot 4 + 49x^6 = -8\sin(4x-1) + 49x^6$

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ для всех действительных чисел $x \in R$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

312. 1) $F(x) = x + \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

2) $F(x) = \cos x^4$, $f(x) = -4x^3 \sin x^4$, $x \in R$

3) $F(x) = -1,5 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$, $f(x) = -\frac{3}{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$, $x \in R$

4) $F(x) = -\ctg 5x + 5x$; $f(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2 5x} + 1\right)$, $x \in \left(0; \frac{\pi}{5}\right)$

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка, то есть $F'(x) = f(x)$.

1) $F(x) = x + \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$. Запишем функцию в виде $F(x) = x + x^{-1}$.

Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем: $F'(x) = (x + x^{-1})' = (x)' + (x^{-1})' = 1 + (-1) \cdot x^{-1-1} = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.

Приведем выражение к общему знаменателю: $F'(x) = \frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Да, является.

2) $F(x) = \cos(x^4)$, $f(x) = -4x^3 \sin(x^4)$, $x \in R$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = \cos u$, а внутренняя $h(x) = x^4$. Их производные: $g'(u) = -\sin u$ и $h'(x) = 4x^3$.

$F'(x) = (\cos(x^4))' = -\sin(x^4) \cdot (x^4)' = -\sin(x^4) \cdot 4x^3 = -4x^3 \sin(x^4)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

3) $F(x) = -1,5\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4})$, $x \in R$

Решение

Запишем коэффициент $-1,5$ в виде дроби $-\frac{3}{2}$: $F(x) = -\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8})$.

Для нахождения производной применим цепное правило для производной сложной функции: $F'(x) = \left(-\frac{3}{2}\sin^2(x + \frac{\pi}{8})\right)' = -\frac{3}{2} \cdot 2\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (\sin(x + \frac{\pi}{8}))' = -3\sin(x + \frac{\pi}{8}) \cdot \cos(x + \frac{\pi}{8}) \cdot (x + \frac{\pi}{8})' = -3\sin(x + \frac{\pi}{8})\cos(x + \frac{\pi}{8})$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, из которой $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

При $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$: $F'(x) = -3 \cdot \frac{1}{2}\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{3}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{8}\right) = -\frac{3}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

4) $F(x) = -\text{ctg } 5x + 5x$, $f(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2 5x} + 1\right)$, $x \in (0; \frac{\pi}{5})$

Решение

Найдем производную функции $F(x)$ как производную суммы: $F'(x) = (-\text{ctg } 5x + 5x)' = (-\text{ctg } 5x)' + (5x)'$.

Производная второго слагаемого: $(5x)' = 5$. Для производной первого слагаемого используем цепное правило. Зная, что $(\text{ctg } u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$ и $(5x)'=5$, получаем: $(-\text{ctg } 5x)' = -(\text{ctg } 5x)' = - \left(-\frac{1}{\sin^2(5x)}\right) \cdot (5x)' = \frac{1}{\sin^2(5x)} \cdot 5 = \frac{5}{\sin^2(5x)}$.

Складываем результаты: $F'(x) = \frac{5}{\sin^2(5x)} + 5$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $F'(x) = 5\left(\frac{1}{\sin^2(5x)} + 1\right)$.

На промежутке $(0; \frac{\pi}{5})$ все функции определены. Сравнивая результат с $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Да, является.

313. 1) F(x) = $\frac{3^x}{\ln3} + 3x,$ f(x) = $3^x + 3,$ $x \in R;$

2) F(x) = $\ln x - (0,5)^x,$ f(x) = $\frac{1}{x} - 0,5^x \ln \frac{1}{2},$ $x \in R;$

3) F(x) = $x - \ln x^3,$ f(x) = $\frac{x-3}{x},$ $x \in (0; +\infty);$

4) F(x) = $\ln x^2,$ f(x) = $\frac{2}{x},$ $x \in (0; +\infty).$

Для проверки, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$ на этом промежутке, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

1) $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + 3x$, $f(x) = 3^x + 3$, $x \in R$

Решение:

Найдем производную функции $F(x)$, используя правила дифференцирования суммы и формулы производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и степенной функции $(kx)' = k$.

$F'(x) = \left(\frac{3^x}{\ln 3} + 3x\right)' = \left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)' + (3x)'$

$F'(x) = \frac{1}{\ln 3} \cdot (3^x)' + 3 = \frac{1}{\ln 3} \cdot (3^x \ln 3) + 3 = 3^x + 3$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 3^x + 3 = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

2) $F(x) = \ln x - (0,5)^x$, $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2}$, $x \in R$

Решение:

Область определения функции $F(x)$ (из-за $\ln x$) и функции $f(x)$ (из-за $\frac{1}{x}$) есть промежуток $(0; +\infty)$, а не все действительные числа $R$, как указано в условии для $f(x)$. Проверку будем проводить на этой общей области определения.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности и формулы $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $(a^x)' = a^x \ln a$.

$F'(x) = (\ln x - (0,5)^x)' = (\ln x)' - ((0,5)^x)' = \frac{1}{x} - (0,5)^x \ln(0,5)$

Используя свойство логарифма $\ln(0,5) = \ln\frac{1}{2}$, преобразуем выражение:

$F'(x) = \frac{1}{x} - (0,5)^x \ln\frac{1}{2}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на их общей области определения $(0; +\infty)$.

3) $F(x) = x - \ln x^3$, $f(x) = \frac{x-3}{x}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение:

Упростим функцию $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$. Так как $x > 0$, это преобразование является корректным.

$F(x) = x - 3\ln x$

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x - 3\ln x)' = (x)' - (3\ln x)' = 1 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{3}{x}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{x-3}{x} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

4) $F(x) = \ln x^2$, $f(x) = \frac{2}{x}$, $x \in (0; +\infty)$

Решение:

Упростим функцию $F(x)$. Так как по условию $x > 0$, мы можем использовать свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$.

$F(x) = \ln x^2 = 2\ln x$

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = \frac{2}{x} = f(x)$.

Ответ: Да, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Упростите выражения (314—317):

314.1) $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b});

2) $\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}};

3) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}};

4) $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}.

1)

Решение:

Данное выражение $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$ представляет собой произведение разности и суммы двух членов. Для его упрощения применим формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$.

Подставим наши значения в формулу: $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2$.

Поскольку $(\sqrt{x})^2 = x$, получаем: $a - (a-b) = a - a + b = b$.

Выражение имеет смысл при условиях $a \ge 0$ и $a-b \ge 0$, то есть $a \ge b$.

Ответ: $b$.

2)

Решение:

Рассмотрим выражение под внешним корнем: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение под корнем: $(a + 2\sqrt{ab} + b) - 4\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b$.

Выражение $a - 2\sqrt{ab} + b$ является полным квадратом разности, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Следовательно, его можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$.

Выражение определено при $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$.

3)

Решение:

Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$: $a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a^1 - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a-4)$.

В знаменателе приведем степени к общему знаменателю 6, то есть $a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}}$. Затем вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{2}{6}}$: $a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{2}{6}}(a^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{a^{\frac{1}{3}}(a-4)}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)}$.

Сокращаем общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ (при $a \neq 0$): $\frac{a-4}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Числитель $a-4$ является разностью квадратов, так как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $4 = 2^2$. Разложим его на множители: $a-4 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)$.

Подставим разложение в дробь и выполним сокращение: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)}{a^{\frac{1}{2}} - 2} = a^{\frac{1}{2}} + 2$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + 2$.

4)

Решение:

Упростим выражение $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$.

Приведем степень $a^{\frac{1}{2}}$ к знаменателю 6: $a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}}$. Дробь примет вид: $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{3}{6}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{3}{6}}}$.

Вынесем в числителе и знаменателе за скобки общий множитель $a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$: $\frac{a^{\frac{3}{6}}(a^{\frac{23}{6} - \frac{3}{6}} - 25)}{a^{\frac{3}{6}}(a^{\frac{13}{6} - \frac{3}{6}} - 5)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{20}{6}} - 25)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{6}} - 5)}$.

Сократим на $a^{\frac{1}{2}}$ (при $a \neq 0$) и упростим показатели степеней: $\frac{a^{\frac{10}{3}} - 25}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Числитель $a^{\frac{10}{3}} - 25$ можно разложить по формуле разности квадратов, так как $a^{\frac{10}{3}} = (a^{\frac{5}{3}})^2$: $a^{\frac{10}{3}} - 25 = (a^{\frac{5}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)$.

Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{(a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{5}{3}} - 5)$ и получим окончательный результат: $a^{\frac{5}{3}} + 5$.

Ответ: $a^{\frac{5}{3}} + 5$.