Страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

349.1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1;$

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 1;$

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 1;$

4) $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1.$

1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1$
Решение:
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 11: $1 = 11^0$.
Неравенство примет вид: $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 11^0$.
Так как основание степени $11 > 1$, то показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x+3}{x^2-4} > 0$
Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x = -3$, $x = -2$, $x = 2$.
Отметим эти точки на числовой оси (все точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{x+3}{(x-2)(x+2)}$:
- При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (-2; 2)$ (например, $x=0$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
- При $x \in (-3; -2)$ (например, $x=-2.5$): $\frac{+}{(-)(-)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x=-4$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.
Так как знак неравенства ">", выбираем интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов: $x \in (-3, -2) \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 1$
Решение:
Представим 1 как $7^0$. Неравенство примет вид: $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 7^0$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{x^2-25}{x+6} \le 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-5)(x+5)}{x+6} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=5$, $x=-5$. Нуль знаменателя: $x=-6$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $x=5$ и $x=-5$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=-6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{(x-5)(x+5)}{x+6}$ на интервалах:
- При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.
- При $x \in (-5; 5)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} = -$.
- При $x \in (-6; -5)$ (например, $x=-5.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -6)$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$.
Так как знак неравенства "$\le$", выбираем интервалы со знаком "−" и включаем закрашенные точки.
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -6) \cup [-5, 5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [-5; 5]$.

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 1$
Решение:
Представим 1 как $0,08^0$. Неравенство примет вид: $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 0,08^0$.
Так как основание степени $0,08 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x}{x^2-1} \le 0$
Разложим знаменатель на множители:
$\frac{x}{(x-1)(x+1)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=0$. Нули знаменателя: $x=1$, $x=-1$.
Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=0$ закрашенная, а точки $x=1$ и $x=-1$ — выколотые.

Определим знаки выражения $\frac{x}{(x-1)(x+1)}$ на интервалах:
- При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (0; 1)$ (например, $x=0.5$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
- При $x \in (-1; 0)$ (например, $x=-0.5$): $\frac{-}{(-)(+)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.
Так как знак неравенства "$\le$", выбираем интервалы со знаком "−" и включаем закрашенные точки.
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0; 1)$.

4) $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1$
Решение:
Представим 1 как $(\frac{3}{4})^0$. Неравенство примет вид: $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < (\frac{3}{4})^0$.
Так как основание степени $\frac{3}{4} < 1$, показательная функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\frac{x^2-36}{x^2-16} > 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)} > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=6$, $x=-6$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.
Так как неравенство строгое, все точки на числовой оси будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)}$ на интервалах:
- При $x \in (6; +\infty)$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (4; 6)$ (например, $x=5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} = -$.
- При $x \in (-4; 4)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} = +$.
- При $x \in (-6; -4)$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} = -$.
- При $x \in (-\infty; -6)$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.
Так как знак неравенства ">", выбираем интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, 4) \cup (6, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 4) \cup (6; +\infty)$.

350. 1) $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} \ge 0;$

2) $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x \le 0;$

3) $3^{2x+1} > 4 - 3^x,$

4) $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 \ge 0.$

1)

Дано:

Неравенство $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} \ge 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 - 8 \cdot \frac{1}{3^x} - 3^1 \cdot 3^{-2x} \ge 0$, что равносильно $3 - \frac{8}{3^x} - \frac{3}{(3^x)^2} \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3 - 8t - 3t^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3t^2 + 8t - 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ и $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 + 8t - 3$ направлены вверх, неравенство $3t^2 + 8t - 3 \le 0$ выполняется при $t \in [-3, \frac{1}{3}]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной: $0 < 3^{-x} \le \frac{1}{3}$.

Неравенство $3^{-x} > 0$ верно для любого $x$. Решим неравенство $3^{-x} \le \frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$. Получим $3^{-x} \le 3^{-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $-x \le -1$.

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x \le 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$, $25^x = (5^x)^2$, $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство является однородным: $5 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot (2^x \cdot 5^x) - 2 \cdot (5^x)^2 \le 0$.

Разделим обе части неравенства на $(5^x)^2$. Так как $(5^x)^2 > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$5 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} + 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 2 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} \le 0$

$5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} + 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $5t^2 + 3t - 2 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Так как ветви параболы $y = 5t^2 + 3t - 2$ направлены вверх, неравенство $5t^2 + 3t - 2 \le 0$ выполняется при $t \in [-1, \frac{2}{5}]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{2}{5}$.

Вернемся к исходной переменной: $0 < (\frac{2}{5})^x \le \frac{2}{5}$.

Решим неравенство $(\frac{2}{5})^x \le (\frac{2}{5})^1$.

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3)

Дано:

Неравенство $3^{2x+1} > 4 - 3^x$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем неравенство:

$3^{2x} \cdot 3^1 + 3^x - 4 > 0$

$3 \cdot (3^x)^2 + 3^x - 4 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t^2 + t - 4 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 + t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 + t - 4$ направлены вверх, неравенство $3t^2 + t - 4 > 0$ выполняется при $t < -\frac{4}{3}$ или $t > 1$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 1$.

Вернемся к исходной переменной: $3^x > 1$.

Представим 1 как $3^0$: $3^x > 3^0$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

4)

Дано:

Неравенство $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 \ge 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Приведем все степени к основанию 2:

$(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x - 2^x \cdot 2^2 - 12 \ge 0$

$(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 12 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид кубического неравенства: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t+3) - 4(t+3) \ge 0$

$(t^2 - 4)(t+3) \ge 0$

$(t-2)(t+2)(t+3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена в левой части: $t=2, t=-2, t=-3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определив знаки выражения $(t-2)(t+2)(t+3)$ в каждом интервале, находим, что неравенство $\ge 0$ выполняется при $t \in [-3, -2] \cup [2, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge 2$.

Вернемся к исходной переменной: $2^x \ge 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x \ge 2^1$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

351.1) $5^{\sin x} \ge \frac{1}{5};$

2) $7^{\cos x} < \frac{1}{7};$

3) $4^{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} < \frac{1}{4};$

4) $6^{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} \ge \left(\sqrt{6}\right)^{\sqrt{3}}.$

1)

Дано:

$5^{\sin x} \ge \frac{1}{5}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Исходное неравенство принимает вид: $5^{\sin x} \ge 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$\sin x \ge -1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2)

Дано:

$7^{\cos x} < \frac{1}{7}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $7^{\cos x} < 7^{-1}$.

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Переходя к неравенству для показателей, сохраняем знак:

$\cos x < -1$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Не существует таких значений $x$, при которых $\cos x$ был бы меньше -1.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

3)

Дано:

$4^{\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $4^{\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})} < 4^{-1}$.

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) < -1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Введем замену: $t = x + \frac{\pi}{4}$. Получаем неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, концы которой соответствуют углам $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi n$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано:

$6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} \ge (\sqrt{6})^{\sqrt{3}}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Преобразуем правую часть неравенства:

$(\sqrt{6})^{\sqrt{3}} = (6^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{3}} = 6^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Исходное неравенство принимает вид: $6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} \ge 6^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, переходя к неравенству для показателей, сохраняем знак:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Введем замену: $t = x - \frac{\pi}{4}$. Получаем неравенство $\sin t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, концы которой соответствуют углам $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{8\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n$.

$\frac{7\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{7\pi}{12} + 2\pi n, \frac{11\pi}{12} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

352.

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1};$

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2});$

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1};$

4) $2^{x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^x.$

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Решение

Перенесем слагаемые с основанием 7 в левую часть неравенства, а с основанием 5 — в правую:

$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} > 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части, используя свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$):

$7^{x-1}(7^1 - 2) > 5^{x-1}(5^3 - 118)$

Вычислим значения в скобках:

$7 - 2 = 5$

$5^3 - 118 = 125 - 118 = 7$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$7^{x-1} \cdot 5 > 5^{x-1} \cdot 7$

Разделим обе части неравенства на $5^{x-1}$ (это выражение всегда положительно) и на 5:

$\frac{7^{x-1}}{5^{x-1}} > \frac{7}{5}$

$(\frac{7}{5})^{x-1} > (\frac{7}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{7}{5} > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к сравнению показателей степени, сохранив знак неравенства:

$x-1 > 1$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$

Решение

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot 5^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5^x - 2 \cdot 5^{x-1} > 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Вынесем за скобки общие множители:

$5^{x-1}(5^1 - 2) > 3^{x-2}(3^3 - 2)$

Вычислим значения в скобках:

$5 - 2 = 3$

$3^3 - 2 = 27 - 2 = 25$

Подставим полученные значения:

$5^{x-1} \cdot 3 > 3^{x-2} \cdot 25$

Используем свойство степеней $3^{x-2} = 3^{x-1} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{x-1}$:

$5^{x-1} \cdot 3 > \frac{1}{3} \cdot 3^{x-1} \cdot 25$

Разделим обе части на $3^{x-1}$ (выражение всегда положительно) и на 3:

$\frac{5^{x-1}}{3^{x-1}} > \frac{25}{3 \cdot 3}$

$(\frac{5}{3})^{x-1} > \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:

$(\frac{5}{3})^{x-1} > (\frac{5}{3})^2$

Так как основание $\frac{5}{3} > 1$, функция возрастающая. Сравниваем показатели:

$x-1 > 2$

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$

Решение

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$

Вынесем за скобки общие множители:

$3^{x^2-1}(3^3 - 1) > 5^{x^2-1}(5^2 + 1)$

Вычислим значения в скобках:

$3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$

$5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Подставим полученные значения:

$3^{x^2-1} \cdot 26 > 5^{x^2-1} \cdot 26$

Разделим обе части на 26:

$3^{x^2-1} > 5^{x^2-1}$

Разделим обе части на $5^{x^2-1}$ (выражение всегда положительно):

$\frac{3^{x^2-1}}{5^{x^2-1}} > 1$

$(\frac{3}{5})^{x^2-1} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^{x^2-1} > (\frac{3}{5})^0$

Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-1 < 0$

$(x-1)(x+1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал между корнями $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

$-1 < x < 1$

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) $2^{x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^x$

Решение

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{x+1} + 2^x > 3^{x-1} + 3^x$

Вынесем за скобки общие множители:

$2^x(2^1 + 1) > 3^{x-1}(1 + 3^1)$

Вычислим значения в скобках:

$2 + 1 = 3$

$1 + 3 = 4$

Подставим полученные значения:

$2^x \cdot 3 > 3^{x-1} \cdot 4$

Используем свойство степеней $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$:

$2^x \cdot 3 > \frac{3^x}{3} \cdot 4$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2^x \cdot 9 > 3^x \cdot 4$

Разделим обе части на $3^x$ (всегда положительно) и на 9:

$\frac{2^x}{3^x} > \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^2$

Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

Решите логарифмические неравенства (353–361):

353.1) $log_4(5 - 3x) > 1;$

353.2) $log_2(6 - 5x) < 1;$

353.3) $log_{0,5}(1 + 2x) < -1;$

353.4) $log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1.$

1) $\log_4(5 - 3x) > 1$

Решение
Для решения логарифмического неравенства необходимо рассмотреть два условия: область допустимых значений (ОДЗ) и само неравенство.
1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$5 - 3x > 0$
$-3x > -5$
$x < \frac{5}{3}$
2. Решение неравенства: Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием.
$1 = \log_4(4^1) = \log_4(4)$
Неравенство принимает вид:
$\log_4(5 - 3x) > \log_4(4)$
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
$5 - 3x > 4$
$-3x > 4 - 5$
$-3x > -1$
$x < \frac{1}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
3. Найдем пересечение решений: необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно.
$\begin{cases} x < \frac{5}{3} \\ x < \frac{1}{3} \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.

2) $\log_2(6 - 5x) < 1$

Решение
1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$6 - 5x > 0$
$-5x > -6$
$x < \frac{6}{5}$
2. Решение неравенства: Представим 1 в виде логарифма с основанием 2.
$1 = \log_2(2)$
$\log_2(6 - 5x) < \log_2(2)$
Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$6 - 5x < 2$
$-5x < 2 - 6$
$-5x < -4$
$x > \frac{4}{5}$
3. Найдем пересечение ОДЗ и решения неравенства.
$\begin{cases} x < \frac{6}{5} \\ x > \frac{4}{5} \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{4}{5} < x < \frac{6}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{4}{5}; \frac{6}{5})$.

3) $\log_{0.5}(1 + 2x) < -1$

Решение
1. ОДЗ:
$1 + 2x > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
2. Решение неравенства: Представим -1 в виде логарифма с основанием 0.5.
$-1 = \log_{0.5}(0.5^{-1}) = \log_{0.5}(2)$
$\log_{0.5}(1 + 2x) < \log_{0.5}(2)$
Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
$1 + 2x > 2$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
3. Найдем пересечение.
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$
Пересечением является $x > \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1$

Решение
1. ОДЗ:
$4x - 3 > 0$
$4x > 3$
$x > \frac{3}{4}$
2. Решение неравенства: Представим -1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$.
$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$
$\log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$
Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.
$4x - 3 < 3$
$4x < 6$
$x < \frac{6}{4}$
$x < \frac{3}{2}$
3. Найдем пересечение.
$\begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{3}{4} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; \frac{3}{2})$.

354.

1) $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} \ge 0;$

2) $\log_{0,15} \frac{5-x}{4+x} < 0;$

3) $\log_4 \frac{x-3}{x} \le 0;$

4) $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < -1.$

1) $\log_{\frac{1}{7}}{\frac{x-5}{x+4}} \ge 0$

Для решения логарифмического неравенства необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство, а затем найти пересечение полученных множеств.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$\frac{x-5}{x+4} > 0$Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя:$x-5=0 \implies x=5$$x+4=0 \implies x=-4$Отметим эти точки на числовой оси и определим знак дроби в каждом из интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 5)$, $(5, +\infty)$.

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{6+4} = \frac{1}{10} > 0$. Интервал подходит.
• При $-4 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{0+4} = -\frac{5}{4} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5-5}{-5+4} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (5, +\infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}}(1)$.$\log_{\frac{1}{7}}{\frac{x-5}{x+4}} \ge \log_{\frac{1}{7}}(1)$Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$\frac{x-5}{x+4} \le 1$Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю:$\frac{x-5}{x+4} - 1 \le 0$$\frac{x-5 - (x+4)}{x+4} \le 0$$\frac{x-5-x-4}{x+4} \le 0$$\frac{-9}{x+4} \le 0$Числитель дроби (-9) отрицателен. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля (знаменатель не может быть равен нулю).$x+4 > 0 \implies x > -4$.

3. Найдём пересечение решения неравенства ($x > -4$) и ОДЗ ($x \in (-\infty, -4) \cup (5, +\infty)$).Пересечением этих множеств является интервал $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.

2) $\log_{0,15}{\frac{5-x}{4+x}} < 0$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{5-x}{4+x} > 0$Нули числителя: $5-x=0 \implies x=5$.Нули знаменателя: $4+x=0 \implies x=-4$.Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-4, 5)$.

2. Решим неравенство. Представим 0 как $\log_{0,15}(1)$.$\log_{0,15}{\frac{5-x}{4+x}} < \log_{0,15}(1)$Основание $a = 0,15$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.$\frac{5-x}{4+x} > 1$$\frac{5-x}{4+x} - 1 > 0$$\frac{5-x - (4+x)}{4+x} > 0$$\frac{1-2x}{4+x} > 0$Нули числителя: $1-2x=0 \implies x = \frac{1}{2}$.Нули знаменателя: $4+x=0 \implies x = -4$.Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-4, \frac{1}{2})$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-4, 5)$) и решения неравенства ($x \in (-4, \frac{1}{2})$).Пересечением является интервал $(-4, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-4, \frac{1}{2})$.

3) $\log_{4}{\frac{x-3}{x}} \le 0$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{x-3}{x} > 0$Нули числителя: $x=3$. Нули знаменателя: $x=0$.Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим 0 как $\log_{4}(1)$.$\log_{4}{\frac{x-3}{x}} \le \log_{4}(1)$Основание $a = 4 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.$\frac{x-3}{x} \le 1$$\frac{x-3}{x} - 1 \le 0$$\frac{x-3-x}{x} \le 0$$\frac{-3}{x} \le 0$Числитель отрицателен, значит, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен.$x > 0$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$) и решения неравенства ($x > 0$).Пересечением является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{5}}{\frac{x}{x+2}} < -1$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{x}{x+2} > 0$Нули числителя: $x=0$. Нули знаменателя: $x=-2$.Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$:$-1 = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}}(5)$.$\log_{\frac{1}{5}}{\frac{x}{x+2}} < \log_{\frac{1}{5}}(5)$Основание $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.$\frac{x}{x+2} > 5$$\frac{x}{x+2} - 5 > 0$$\frac{x - 5(x+2)}{x+2} > 0$$\frac{x - 5x - 10}{x+2} > 0$$\frac{-4x - 10}{x+2} > 0$Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:$\frac{4x+10}{x+2} < 0$Нули числителя: $4x+10=0 \implies x = -2,5$.Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x = -2$.Методом интервалов находим, что решение неравенства: $x \in (-2,5, -2)$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$) и решения неравенства ($x \in (-2,5, -2)$).Пересечением является интервал $(-2,5, -2)$.

Ответ: $x \in (-2,5, -2)$.

355. 1) $log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$;

2) $log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) \ge log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$;

3) $log_5(x^2 - 1) \ge log_5 3$;

4) $log_{11}(x^2 + 7) < log_{11}(6x - 1)$.

1) $\log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$

Решение:

Данное логарифмическое неравенство решается в несколько шагов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), затем решим неравенство, учитывая основание логарифма, и, наконец, объединим полученные результаты.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.$$\begin{cases}3x - 8 > 0 \\2x - 9 > 0\end{cases}$$Решим систему неравенств:$$\begin{cases}3x > 8 \\2x > 9\end{cases}\implies\begin{cases}x > \frac{8}{3} \\x > \frac{9}{2}\end{cases}$$Поскольку $\frac{9}{2} = 4.5$, а $\frac{8}{3} \approx 2.67$, то для выполнения обоих условий необходимо, чтобы $x$ был больше большего из этих чисел. Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{9}{2}$ или $x \in (\frac{9}{2}, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.$$3x - 8 > 2x - 9$$$$3x - 2x > 8 - 9$$$$x > -1$$

3. Пересечение с ОДЗ:
Теперь необходимо найти общее решение, которое удовлетворяет как неравенству ($x > -1$), так и ОДЗ ($x > \frac{9}{2}$).$$\begin{cases}x > -1 \\x > \frac{9}{2}\end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $(\frac{9}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{2}, +\infty)$.

2) $\log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) \ge \log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.$$\begin{cases}7x + 1 > 0 \\x - 9 > 0\end{cases}$$Решим систему неравенств:$$\begin{cases}7x > -1 \\x > 9\end{cases}\implies\begin{cases}x > -\frac{1}{7} \\x > 9\end{cases}$$Общим решением системы является $x > 9$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (9, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = \frac{4}{3}$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.$$7x + 1 \ge x - 9$$$$7x - x \ge -9 - 1$$$$6x \ge -10$$$$x \ge -\frac{10}{6} \implies x \ge -\frac{5}{3}$$

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение решения $x \ge -\frac{5}{3}$ с ОДЗ $x > 9$.$$\begin{cases}x \ge -\frac{5}{3} \\x > 9\end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $(9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

3) $\log_5(x^2 - 1) \ge \log_5 3$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.$$x^2 - 1 > 0$$$$(x-1)(x+1) > 0$$Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.$$x^2 - 1 \ge 3$$$$x^2 - 4 \ge 0$$$$(x-2)(x+2) \ge 0$$Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение полученного решения $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
- Пересечение $(-\infty, -2]$ и $(-\infty, -1)$ дает $(-\infty, -2]$.
- Пересечение $[2, +\infty)$ и $(1, +\infty)$ дает $[2, +\infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

4) $\log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1)$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.$$\begin{cases}x^2 + 7 > 0 \\6x - 1 > 0\end{cases}$$Первое неравенство $x^2 + 7 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2 + 7 \ge 7$.
Второе неравенство: $6x - 1 > 0 \implies 6x > 1 \implies x > \frac{1}{6}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{6}, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = 11$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.$$x^2 + 7 < 6x - 1$$$$x^2 - 6x + 8 < 0$$Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни равны $x_1=2$ и $x_2=4$.
Так как парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (2, 4)$.

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение решения $x \in (2, 4)$ с ОДЗ $x > \frac{1}{6}$.$$\begin{cases}2 < x < 4 \\x > \frac{1}{6}\end{cases}$$Так как $2 > \frac{1}{6}$, интервал $(2, 4)$ полностью входит в ОДЗ. Следовательно, пересечением является сам интервал $(2, 4)$.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

356.

1) $\log_{2.7}(x - 2) + \log_{2.7} x > \log_{2.7}(x + 4);$

2) $\log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8);$

3) $\log_{2}(x - 1) + \log_{2} x \le 1;$

4) $\log_{3} x + \log_{3}(x - 8) \ge 2.$

1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7} x > \log_{2,7}(x + 4)$

Решение

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{2,7}((x - 2)x) > \log_{2,7}(x + 4)$

Основание логарифма $2,7 > 1$, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$(x - 2)x > x + 4$

$x^2 - 2x > x + 4$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -1) \cup (4, +\infty)) \cap (2, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 6 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 6 \\ x > \frac{8}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 6$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_{\frac{1}{4}}(x(x - 6)) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Основание логарифма $\frac{1}{4} < 1$, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x - 6) > 3x - 8$

$x^2 - 6x > 3x - 8$

$x^2 - 9x + 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 9x + 8$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, 1) \cup (8, +\infty)) \cap (6, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(8, +\infty)$.

Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

3) $\log_2(x - 1) + \log_2 x \le 1$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $1$ как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2((x - 1)x) \le \log_2 2$

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$(x - 1)x \le 2$

$x^2 - x \le 2$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно): $x \in [-1, 2]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-1, 2] \cap (1, +\infty)$.

Пересечением является полуинтервал $(1, 2]$.

Ответ: $x \in (1, 2]$.

4) $\log_3 x + \log_3(x - 8) \ge 2$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 8 \end{cases}$

Пересечением является $x > 8$. ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $2$ как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.

$\log_3(x(x - 8)) \ge \log_3 9$

Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x(x - 8) \ge 9$

$x^2 - 8x \ge 9$

$x^2 - 8x - 9 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включительно): $x \in (-\infty, -1] \cup [9, +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -1] \cup [9, +\infty)) \cap (8, +\infty)$.

Пересечением является луч $[9, +\infty)$.

Ответ: $x \in [9, +\infty)$.

357.1) $ \log_{\frac{1}{6}} \left(8 - \frac{4}{5}x\right) > -2; $

2) $ \log_{3} (4x - x^2) \ge 1; $

3) $ \log_{3} \left(3 - \frac{x}{2}\right) > \log_{3} (2x - 1); $

4) $ \log_{0.8} (x^2 - 8) \ge \log_{0.8} 8. $

1)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > -2$.

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$8 - \frac{4}{5}x > 0$

$8 > \frac{4}{5}x$

$40 > 4x$

$x < 10$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{6}}(\frac{1}{6}) = \log_{\frac{1}{6}}((\frac{1}{6})^{-2}) = \log_{\frac{1}{6}}(6^2) = \log_{\frac{1}{6}}(36)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{6}$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$8 - \frac{4}{5}x < 36$

$-\frac{4}{5}x < 36 - 8$

$-\frac{4}{5}x < 28$

Умножим обе части на $-\frac{5}{4}$, при этом снова изменим знак неравенства на противоположный:

$x > 28 \cdot (-\frac{5}{4})$

$x > -35$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 10 \\ x > -35 \end{cases}$

Следовательно, $-35 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-35; 10)$.

2)

Решим неравенство $\log_{3}(4x - x^2) \ge 1$.

Решение:

Найдем ОДЗ: $4x - x^2 > 0$.

$x(4 - x) > 0$.

Решая методом интервалов, находим, что $0 < x < 4$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть как логарифм с основанием 3:

$1 = \log_{3}(3)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{3}(4x - x^2) \ge \log_{3}(3)$

Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$4x - x^2 \ge 3$

$x^2 - 4x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$ выполняется при $1 \le x \le 3$.

Пересечем полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} 0 < x < 4 \\ 1 \le x \le 3 \end{cases}$

Общим решением является интервал $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

3)

Решим неравенство $\log_{3}(3 - \frac{x}{2}) > \log_{3}(2x - 1)$.

Решение:

Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 > \frac{x}{2} \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6 > x \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $\frac{1}{2} < x < 6$.

Теперь решим основное неравенство. Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, логарифмическая функция возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3 - \frac{x}{2} > 2x - 1$

$3 + 1 > 2x + \frac{x}{2}$

$4 > \frac{4x+x}{2}$

$4 > \frac{5x}{2}$

$8 > 5x$

$x < \frac{8}{5}$ (или $x < 1.6$).

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{2} < x < 6 \\ x < \frac{8}{5} \end{cases}$

Общим решением является интервал $(\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

4)

Решим неравенство $\log_{0.8}(x^2 - 8) \ge \log_{0.8}(8)$.

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies |x| > \sqrt{8} \implies |x| > 2\sqrt{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.8$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 8 \le 8$

$x^2 \le 16$

$|x| \le 4$, что эквивалентно $-4 \le x \le 4$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Нужно найти решение системы:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty) \\ -4 \le x \le 4 \end{cases}$

Разобьем на два случая:

1) Для отрицательных $x$: $\begin{cases} x < -2\sqrt{2} \\ -4 \le x \end{cases} \implies -4 \le x < -2\sqrt{2}$.

2) Для положительных $x$: $\begin{cases} x > 2\sqrt{2} \\ x \le 4 \end{cases} \implies 2\sqrt{2} < x \le 4$.

Объединяя оба случая, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-4; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4]$.

358. 1) $\frac{\lg x}{x-3} \ge 0;$

2) $\frac{3-2x}{\log_5 x} > 0;$

3) $\frac{\log_4 x}{x-4} < 0;$

4) $\frac{x+1}{\log_2(x-1)} > 0.$

1) $\frac{\lg x}{x - 3} \ge 0$

Решение

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 3 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $\lg x = 0 \implies x = 10^0 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

3. Отметим точки на числовой оси, учитывая ОДЗ. Точка $x=1$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=3$ - выколотой (т.к. это нуль знаменателя). Начало оси ограничено точкой $x=0$ (из ОДЗ).

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.1$: $\frac{\lg(0.1)}{0.1-3} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$.
- на интервале $(1, 3)$, например, при $x=2$: $\frac{\lg(2)}{2-3} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(3, +\infty)$, например, при $x=10$: $\frac{\lg(10)}{10-3} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", а также точка, где числитель равен нулю ($x=1$).
Решение: $x \in (0, 1] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(0, 1] \cup (3, +\infty)$

2) $\frac{3 - 2x}{\log_5 x} > 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_5 x \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.
Нуль знаменателя: $\log_5 x = 0 \implies x = 5^0 \implies x = 1$.

3. Отметим точки на числовой оси. Обе точки ($x=1$ и $x=1.5$) будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=1$ также является нулем знаменателя.

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.2$: $\frac{3-2(0.2)}{\log_5(0.2)} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(1, 1.5)$, например, при $x=1.2$: $\frac{3-2(1.2)}{\log_5(1.2)} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.
- на интервале $(1.5, +\infty)$, например, при $x=5$: $\frac{3-2(5)}{\log_5(5)} = \frac{\text{отриц.}}{\text{положит.}} < 0$.

5. Нам нужен интервал, где выражение строго больше нуля. Это интервал со знаком "+".
Решение: $x \in (1, 1.5)$.

Ответ: $(1, 1.5)$

3) $\frac{\log_4 x}{x - 4} \le 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 4 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $\log_4 x = 0 \implies x = 4^0 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

3. Отметим точки на числовой оси. Точка $x=1$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=4$ выколотая (нуль знаменателя).

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.5$: $\frac{\log_4(0.5)}{0.5-4} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$.
- на интервале $(1, 4)$, например, при $x=2$: $\frac{\log_4(2)}{2-4} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(4, +\infty)$, например, при $x=16$: $\frac{\log_4(16)}{16-4} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=1$).
Решение: $x \in [1, 4)$.

Ответ: $[1, 4)$

4) $\frac{x + 1}{\log_2 (x - 1)} > 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ \log_2(x - 1) \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x - 1 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Проанализируем знаки числителя и знаменателя в области ОДЗ.
Числитель: $x + 1$. Так как по ОДЗ $x > 1$, то $x + 1 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, числитель $x+1$ всегда положителен на ОДЗ.

3. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$\log_2 (x - 1) > 0$

4. Решим это логарифмическое неравенство.
$\log_2 (x - 1) > \log_2 1$
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 1 > 1$
$x > 2$

5. Полученное решение $x > 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Решение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $(2, +\infty)$