Номер 358, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

358. 1) $\frac{\lg x}{x-3} \ge 0;$

2) $\frac{3-2x}{\log_5 x} > 0;$

3) $\frac{\log_4 x}{x-4} < 0;$

4) $\frac{x+1}{\log_2(x-1)} > 0.$

1) $\frac{\lg x}{x - 3} \ge 0$

Решение

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 3 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $\lg x = 0 \implies x = 10^0 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

3. Отметим точки на числовой оси, учитывая ОДЗ. Точка $x=1$ будет закрашенной (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=3$ - выколотой (т.к. это нуль знаменателя). Начало оси ограничено точкой $x=0$ (из ОДЗ).

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.1$: $\frac{\lg(0.1)}{0.1-3} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$.
- на интервале $(1, 3)$, например, при $x=2$: $\frac{\lg(2)}{2-3} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(3, +\infty)$, например, при $x=10$: $\frac{\lg(10)}{10-3} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", а также точка, где числитель равен нулю ($x=1$).
Решение: $x \in (0, 1] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(0, 1] \cup (3, +\infty)$

2) $\frac{3 - 2x}{\log_5 x} > 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_5 x \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.
Нуль знаменателя: $\log_5 x = 0 \implies x = 5^0 \implies x = 1$.

3. Отметим точки на числовой оси. Обе точки ($x=1$ и $x=1.5$) будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=1$ также является нулем знаменателя.

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.2$: $\frac{3-2(0.2)}{\log_5(0.2)} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(1, 1.5)$, например, при $x=1.2$: $\frac{3-2(1.2)}{\log_5(1.2)} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.
- на интервале $(1.5, +\infty)$, например, при $x=5$: $\frac{3-2(5)}{\log_5(5)} = \frac{\text{отриц.}}{\text{положит.}} < 0$.

5. Нам нужен интервал, где выражение строго больше нуля. Это интервал со знаком "+".
Решение: $x \in (1, 1.5)$.

Ответ: $(1, 1.5)$

3) $\frac{\log_4 x}{x - 4} \le 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 4 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (0, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $\log_4 x = 0 \implies x = 4^0 \implies x = 1$.
Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

3. Отметим точки на числовой оси. Точка $x=1$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=4$ выколотая (нуль знаменателя).

4. Определим знаки выражения на интервалах:
- на интервале $(0, 1)$, например, при $x=0.5$: $\frac{\log_4(0.5)}{0.5-4} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$.
- на интервале $(1, 4)$, например, при $x=2$: $\frac{\log_4(2)}{2-4} = \frac{\text{положит.}}{\text{отриц.}} < 0$.
- на интервале $(4, +\infty)$, например, при $x=16$: $\frac{\log_4(16)}{16-4} = \frac{\text{положит.}}{\text{положит.}} > 0$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-", а также точка, где числитель равен нулю ($x=1$).
Решение: $x \in [1, 4)$.

Ответ: $[1, 4)$

4) $\frac{x + 1}{\log_2 (x - 1)} > 0$

Решение

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ \log_2(x - 1) \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x - 1 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Проанализируем знаки числителя и знаменателя в области ОДЗ.
Числитель: $x + 1$. Так как по ОДЗ $x > 1$, то $x + 1 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, числитель $x+1$ всегда положителен на ОДЗ.

3. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:
$\log_2 (x - 1) > 0$

4. Решим это логарифмическое неравенство.
$\log_2 (x - 1) > \log_2 1$
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 1 > 1$
$x > 2$

5. Полученное решение $x > 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Решение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $(2, +\infty)$