Номер 359, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

359.

1) $\frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} \le 0;$

2) $\log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} \ge 0;$

3) $\frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} \ge 0;$

4) $\frac{\log_6(x + 2)}{x^3} \le 0.$

1)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} \le 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ x + 1 > 0 \implies x > -1 $.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \log_2(x + 1) \ne 0 \implies x + 1 \ne 2^0 \implies x + 1 \ne 1 \implies x \ne 0 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty) $.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -3 $.
Нули знаменателя: $ \log_2(x + 1) = 0 \implies x = 0 $.

3. Отметим на числовой оси точки, влияющие на знак выражения, и учтем ОДЗ. Нас интересуют интервалы в пределах ОДЗ: $ (-1, 0) $ и $ (0, +\infty) $.
Рассмотрим знак дроби на каждом интервале:
- При $ x \in (-1, 0) $: числитель $ x(x+3) $ отрицателен (т.к. $ x < 0 $ и $ x+3 > 0 $), знаменатель $ \log_2(x+1) $ отрицатеlen (т.к. $ 0 < x+1 < 1 $). Дробь $ \frac{(-)}{(-)} $ положительна.
- При $ x \in (0, +\infty) $: числитель $ x(x+3) $ положителен (т.к. $ x > 0 $ и $ x+3 > 0 $), знаменатель $ \log_2(x+1) $ положителен (т.к. $ x+1 > 1 $). Дробь $ \frac{(+)}{(+)} $ положительна.
Неравенство является нестрогим, поэтому нужно проверить точки, где числитель равен нулю. Это $ x=0 $ и $ x=-3 $. Ни одна из этих точек не входит в ОДЗ.
Таким образом, на всей области допустимых значений левая часть неравенства строго больше нуля. Решений нет.

Ответ: $ x \in \emptyset $.

2)

Решение:

Решим неравенство $ \log_{12} \frac{x^2+x}{x+4} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ \frac{x^2+x}{x+4} > 0 \implies \frac{x(x+1)}{x+4} > 0 $.
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $ x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty) $. Это и есть ОДЗ.

2. Так как основание логарифма $ 12 > 1 $, логарифмическая функция возрастающая. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему (с учетом ОДЗ):
$ \frac{x^2+x}{x+4} \ge 12^0 $
$ \frac{x^2+x}{x+4} \ge 1 $
$ \frac{x^2+x}{x+4} - 1 \ge 0 $
$ \frac{x^2+x - (x+4)}{x+4} \ge 0 $
$ \frac{x^2-4}{x+4} \ge 0 $
$ \frac{(x-2)(x+2)}{x+4} \ge 0 $.

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $ x=2, x=-2 $. Нуль знаменателя: $ x=-4 $.
Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки:
- При $ x > 2 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ -2 < x < 2 $: $ \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ -4 < x < -2 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $. Интервал подходит.
Учитывая знак $ \ge $, включаем нули числителя: $ x=2, x=-2 $.
Решение рационального неравенства: $ x \in (-4, -2] \cup [2, +\infty) $.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty) $.
$ ((-4, -2] \cup [2, +\infty)) \cap ((-4, -1) \cup (0, +\infty)) = (-4, -2] \cup [2, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-4, -2] \cup [2, \infty) $.

3)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{2x^2-8}{\log_5 x} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $ x > 0 $.
Знаменатель: $ \log_5 x \ne 0 \implies x \ne 1 $.
ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.

2. Применим метод рационализации. Знак $ \log_5 x $ на ОДЗ совпадает со знаком выражения $ (5-1)(x-1) $, то есть $ x-1 $.
Исходное неравенство на ОДЗ равносильно:
$ (2x^2-8)(x-1) \ge 0 $
$ 2(x^2-4)(x-1) \ge 0 $
$ (x-2)(x+2)(x-1) \ge 0 $.

3. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нули: $ x=2, x=-2, x=1 $.
- При $ x \in (2, \infty) $: $ (+)(+)(+) > 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (1, 2) $: $ (-)(+)(+) < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x \in (-2, 1) $: $ (-)(+)(-) > 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (-\infty, -2) $: $ (-)(-)(-) < 0 $. Интервал не подходит.
Учитывая знак $ \ge $, включаем нули: $ x=2, x=1, x=-2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in [-2, 1] \cup [2, \infty) $.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.
$ ([-2, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((0, 1) \cup (1, +\infty)) = (0, 1) \cup [2, \infty) $.

Ответ: $ x \in (0, 1) \cup [2, \infty) $.

4)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{\log_6(x+2)}{x^3} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Знаменатель: $ x^3 \ne 0 \implies x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty) $.

2. Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ \log_6(x+2) = 0 \implies x+2 = 6^0 \implies x+2 = 1 \implies x = -1 $.
Нуль знаменателя: $ x^3 = 0 \implies x = 0 $.

3. Отметим точки $ -1 $ и $ 0 $ на числовой оси и учтем ОДЗ $ x > -2 $.
Рассмотрим знаки на интервалах, входящих в ОДЗ:
- При $ x \in (-2, -1) $: числитель $ \log_6(x+2) < 0 $ (т.к. $ 0 < x+2 < 1 $), знаменатель $ x^3 < 0 $. Дробь $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x \in (-1, 0) $: числитель $ \log_6(x+2) > 0 $ (т.к. $ x+2 > 1 $), знаменатель $ x^3 < 0 $. Дробь $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (0, +\infty) $: числитель $ \log_6(x+2) > 0 $ (т.к. $ x+2 > 2 $), знаменатель $ x^3 > 0 $. Дробь $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Интервал не подходит.

4. Неравенство нестрогое ($ \le 0 $), поэтому нужно включить в решение точку, где числитель равен нулю, если она входит в ОДЗ.
$ x = -1 $ входит в ОДЗ. Значит, $ x=-1 $ является решением.
Объединяя интервал и точку, получаем решение: $ x \in [-1, 0) $.

Ответ: $ x \in [-1, 0) $.