Номер 364, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите множества значений функции $y = g(x)$ (364–365):

364.1) $f(x)=2+\sqrt{x}$;

2) $f(x)=-3+\sqrt{x}$;

3) $f(x)=2^x+2$;

4) $f(x)=3+\left(\frac{1}{3}\right)^x$.

364. 1)

Дано:

Функция $f(x) = 2 + \sqrt{x}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Множество значений функции (область значений) — это совокупность всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y=f(x)$.

Данная функция является суммой функции $y_1=\sqrt{x}$ и константы $c=2$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$. Область определения этой функции: $x \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 2 + \sqrt{x}$, нужно к значениям функции $y_1=\sqrt{x}$ прибавить 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\sqrt{x} \ge 0$, прибавим 2 к обеим его частям:

$2 + \sqrt{x} \ge 2 + 0$

$f(x) \ge 2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -3 + \sqrt{x}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой функции $y_1=\sqrt{x}$ и константы $c=-3$.

1. Множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$, так как $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = -3 + \sqrt{x}$, нужно к значениям функции $y_1=\sqrt{x}$ прибавить -3. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\sqrt{x}$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\sqrt{x} \ge 0$, прибавим -3 к обеим его частям:

$-3 + \sqrt{x} \ge -3 + 0$

$f(x) \ge -3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -3.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = 2^x + 2$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой показательной функции $y_1=2^x$ и константы $c=2$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=2^x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей. Значения показательной функции всегда строго положительны, то есть $2^x > 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=2^x$ есть промежуток $(0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 2^x + 2$, нужно к значениям функции $y_1=2^x$ прибавить 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=2^x$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $2^x > 0$, прибавим 2 к обеим его частям:

$2^x + 2 > 0 + 2$

$f(x) > 2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 2.

Ответ: $E(f) = (2; +\infty)$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой показательной функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ и константы $c=3$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Значения показательной функции всегда строго положительны, то есть $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ есть промежуток $(0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$, нужно к значениям функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ прибавить 3. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$, прибавим 3 к обеим его частям:

$3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x > 3 + 0$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.