Номер 366, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Постройте график функции $y=f(x)$ и перечислите ее свойства (366–367):

366. 1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = 3^x + 3;$

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1;$

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|.$

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1$

Решение:

График функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси ординат $Oy$. Для построения найдем несколько точек:

при $x=0, y=\sqrt{0}+1=1$;
при $x=1, y=\sqrt{1}+1=2$;
при $x=4, y=\sqrt{4}+1=3$;
при $x=9, y=\sqrt{9}+1=4$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = \sqrt{x} + 1$:
- Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.
- Нули функции: отсутствуют.
- Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
- Функция положительна на всей области определения: $f(x) > 0$ при $x \in [0; +\infty)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: точка минимума $(0; 1)$, $y_{min} = 1$. Точек максимума нет.
- Асимптоты: отсутствуют.

2) $f(x) = 3^x + 3$

Решение:

График функции $f(x) = 3^x + 3$ получается из графика показательной функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Функция имеет горизонтальную асимптоту $y=3$.

Некоторые точки для построения:
при $x=-2, y=3^{-2}+3 = 1/9+3 \approx 3.11$;
при $x=-1, y=3^{-1}+3 = 1/3+3 \approx 3.33$;
при $x=0, y=3^0+3 = 1+3=4$;
при $x=1, y=3^1+3 = 3+3=6$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = 3^x + 3$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = (3; +\infty)$.
- Нули функции: отсутствуют.
- Функция общего вида.
- Функция положительна на всей области определения: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to -\infty$.

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1$

Решение:

График функции $f(x) = 4^{x-1} - 1$ получается из графика функции $y = 4^x$ путем двух преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и сдвиг на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Функция имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ ($x=0$): $y = 4^{0-1} - 1 = 1/4 - 1 = -3/4$. Точка $(0, -0.75)$.
- с осью $Ox$ ($y=0$): $4^{x-1} - 1 = 0 \implies 4^{x-1} = 1 \implies x-1=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = (-1; +\infty)$.
- Нули функции: $x=1$.
- Функция общего вида.
- Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=-1$ при $x \to -\infty$.

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|$

Решение:

Для построения графика функции $f(x) = |2^{x+2} - 5|$ сначала построим график функции $y_1 = 2^{x+2} - 5$. Этот график получается из $y=2^x$ сдвигом на 2 влево и на 5 вниз. Асимптота $y_1$ - это $y=-5$. Затем часть графика $y_1$, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отражаем относительно этой оси.

Найдем точку излома (нуль подмодульного выражения):
$2^{x+2} - 5 = 0 \implies 2^{x+2} = 5 \implies x+2 = \log_2 5 \implies x = \log_2 5 - 2 \approx 2.32 - 2 = 0.32$.
Точка излома: $(\log_2 5 - 2, 0)$.
При $x \to -\infty$, $2^{x+2} \to 0$, тогда $f(x) \to |0 - 5| = 5$. Горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = |2^{x+2} - 5|$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
- Нули функции: $x = \log_2 5 - 2$.
- Функция общего вида.
- Промежутки знакопостоянства: $f(x) \ge 0$ на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \neq \log_2 5 - 2$.
- Монотонность: убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$; возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$.
- Экстремумы: точка минимума $(\log_2 5 - 2; 0)$, $y_{min} = 0$.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.