Номер 365, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

365.1) $f(x) = 5^{x+1} - 4$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x)$;

3) $f(x) = \log_2(x - 5)$;

4) $f(x) = \log_5(7 - x)$.

1) $f(x) = 5^{x+1} - 4$

Решение:

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях $x$ функция имеет смысл. Данная функция является показательной. Область определения показательной функции $y = a^u$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) — это множество всех действительных чисел для аргумента $u$.

В данном случае основание $a=5$ является положительным числом, не равным единице. Показатель степени $u = x+1$ является линейной функцией, которая определена для любых действительных значений $x$. Следовательно, выражение $5^{x+1}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Вычитание константы 4 не накладывает никаких ограничений на область определения.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(u)$ определяется условием, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным: $u > 0$.

В нашем случае аргумент логарифма равен $3 - x$. Составим и решим неравенство:

$3 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, поменяв знак:

$3 > x$

Что эквивалентно записи:

$x < 3$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 3)$.

3) $f(x) = \log_2(x - 5)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Аргументом в данном случае является выражение $x - 5$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x - 5 > 0$

Перенесем -5 в правую часть неравенства, поменяв знак:

$x > 5$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые больше 5. В виде интервала это записывается как $(5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (5; +\infty)$.

4) $f(x) = \log_5(7 - x)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Аргумент данной функции — это выражение $7 - x$.

Составим и решим неравенство:

$7 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$7 > x$

Или, что то же самое:

$x < 7$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 7. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 7)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 7)$.