Номер 363, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

363.1) $f(x) = \log_{0,7} (x^2 - 5x - 6);$

2) $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5x;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2);$

4) $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x.$

1)

Дано:

$f(x) = \log_{0.7}(x^2 - 5x - 6)$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(g(x))$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $g(x) > 0$.

В данном случае, мы должны решить неравенство:

$x^2 - 5x - 6 > 0$

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корнями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 6$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ выполняется при $x < -1$ или $x > 6$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это объединение двух интервалов: $(-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.

2)

Дано:

$f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения функции, представляющей собой сумму двух функций, является пересечением областей определения каждой из этих функций.

Для первого слагаемого, $\log_5(x-4)$, аргумент должен быть положительным:

$x - 4 > 0 \implies x > 4$

Для второго слагаемого, $\log_5 x$, аргумент должен быть положительным:

$x > 0$

Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, то есть решение системы неравенств:

$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 4$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(4, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (4, \infty)$.

3)

Дано:

$f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2)$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Для данной функции это означает:

$4 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 4$

Решая это неравенство, получаем:

$|x| < 2$

Что эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < x < 2$

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(-2, 2)$.

Ответ: $D(f) = (-2, 2)$.

4)

Дано:

$f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Для первого слагаемого, $\log_7 \frac{x+8}{x}$, аргумент должен быть положительным:

$\frac{x+8}{x} > 0$

Для второго слагаемого, $\lg x$ (десятичный логарифм), аргумент должен быть положительным:

$x > 0$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x+8}{x} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $\frac{x+8}{x} > 0$. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
- Если $x+8 > 0$ и $x > 0$, то есть $x > -8$ и $x > 0$, что равносильно $x > 0$.
- Если $x+8 < 0$ и $x < 0$, то есть $x < -8$ и $x < 0$, что равносильно $x < -8$.
Таким образом, решением первого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -8) \cup (0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с решением второго неравенства $x > 0$.

Пересечением множеств $(-\infty, -8) \cup (0, \infty)$ и $(0, \infty)$ является интервал $(0, \infty)$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, \infty)$.