Номер 357, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

357.1) $ \log_{\frac{1}{6}} \left(8 - \frac{4}{5}x\right) > -2; $

2) $ \log_{3} (4x - x^2) \ge 1; $

3) $ \log_{3} \left(3 - \frac{x}{2}\right) > \log_{3} (2x - 1); $

4) $ \log_{0.8} (x^2 - 8) \ge \log_{0.8} 8. $

1)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > -2$.

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$8 - \frac{4}{5}x > 0$

$8 > \frac{4}{5}x$

$40 > 4x$

$x < 10$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{6}}(\frac{1}{6}) = \log_{\frac{1}{6}}((\frac{1}{6})^{-2}) = \log_{\frac{1}{6}}(6^2) = \log_{\frac{1}{6}}(36)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{6}$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$8 - \frac{4}{5}x < 36$

$-\frac{4}{5}x < 36 - 8$

$-\frac{4}{5}x < 28$

Умножим обе части на $-\frac{5}{4}$, при этом снова изменим знак неравенства на противоположный:

$x > 28 \cdot (-\frac{5}{4})$

$x > -35$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 10 \\ x > -35 \end{cases}$

Следовательно, $-35 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-35; 10)$.

2)

Решим неравенство $\log_{3}(4x - x^2) \ge 1$.

Решение:

Найдем ОДЗ: $4x - x^2 > 0$.

$x(4 - x) > 0$.

Решая методом интервалов, находим, что $0 < x < 4$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть как логарифм с основанием 3:

$1 = \log_{3}(3)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{3}(4x - x^2) \ge \log_{3}(3)$

Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$4x - x^2 \ge 3$

$x^2 - 4x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x + 3 \le 0$ выполняется при $1 \le x \le 3$.

Пересечем полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} 0 < x < 4 \\ 1 \le x \le 3 \end{cases}$

Общим решением является интервал $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

3)

Решим неравенство $\log_{3}(3 - \frac{x}{2}) > \log_{3}(2x - 1)$.

Решение:

Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 > \frac{x}{2} \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6 > x \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $\frac{1}{2} < x < 6$.

Теперь решим основное неравенство. Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, логарифмическая функция возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3 - \frac{x}{2} > 2x - 1$

$3 + 1 > 2x + \frac{x}{2}$

$4 > \frac{4x+x}{2}$

$4 > \frac{5x}{2}$

$8 > 5x$

$x < \frac{8}{5}$ (или $x < 1.6$).

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{2} < x < 6 \\ x < \frac{8}{5} \end{cases}$

Общим решением является интервал $(\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

4)

Решим неравенство $\log_{0.8}(x^2 - 8) \ge \log_{0.8}(8)$.

Решение:

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies |x| > \sqrt{8} \implies |x| > 2\sqrt{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Так как основание логарифма $a = 0.8$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 8 \le 8$

$x^2 \le 16$

$|x| \le 4$, что эквивалентно $-4 \le x \le 4$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Нужно найти решение системы:

$\begin{cases} x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty) \\ -4 \le x \le 4 \end{cases}$

Разобьем на два случая:

1) Для отрицательных $x$: $\begin{cases} x < -2\sqrt{2} \\ -4 \le x \end{cases} \implies -4 \le x < -2\sqrt{2}$.

2) Для положительных $x$: $\begin{cases} x > 2\sqrt{2} \\ x \le 4 \end{cases} \implies 2\sqrt{2} < x \le 4$.

Объединяя оба случая, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-4; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4]$.