Номер 352, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

352.

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1};$

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2});$

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1};$

4) $2^{x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^x.$

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Решение

Перенесем слагаемые с основанием 7 в левую часть неравенства, а с основанием 5 — в правую:

$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} > 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Вынесем за скобки общий множитель в каждой части, используя свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$):

$7^{x-1}(7^1 - 2) > 5^{x-1}(5^3 - 118)$

Вычислим значения в скобках:

$7 - 2 = 5$

$5^3 - 118 = 125 - 118 = 7$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$7^{x-1} \cdot 5 > 5^{x-1} \cdot 7$

Разделим обе части неравенства на $5^{x-1}$ (это выражение всегда положительно) и на 5:

$\frac{7^{x-1}}{5^{x-1}} > \frac{7}{5}$

$(\frac{7}{5})^{x-1} > (\frac{7}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{7}{5} > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к сравнению показателей степени, сохранив знак неравенства:

$x-1 > 1$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$

Решение

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot 5^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5^x - 2 \cdot 5^{x-1} > 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Вынесем за скобки общие множители:

$5^{x-1}(5^1 - 2) > 3^{x-2}(3^3 - 2)$

Вычислим значения в скобках:

$5 - 2 = 3$

$3^3 - 2 = 27 - 2 = 25$

Подставим полученные значения:

$5^{x-1} \cdot 3 > 3^{x-2} \cdot 25$

Используем свойство степеней $3^{x-2} = 3^{x-1} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{x-1}$:

$5^{x-1} \cdot 3 > \frac{1}{3} \cdot 3^{x-1} \cdot 25$

Разделим обе части на $3^{x-1}$ (выражение всегда положительно) и на 3:

$\frac{5^{x-1}}{3^{x-1}} > \frac{25}{3 \cdot 3}$

$(\frac{5}{3})^{x-1} > \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:

$(\frac{5}{3})^{x-1} > (\frac{5}{3})^2$

Так как основание $\frac{5}{3} > 1$, функция возрастающая. Сравниваем показатели:

$x-1 > 2$

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$

Решение

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$

Вынесем за скобки общие множители:

$3^{x^2-1}(3^3 - 1) > 5^{x^2-1}(5^2 + 1)$

Вычислим значения в скобках:

$3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$

$5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Подставим полученные значения:

$3^{x^2-1} \cdot 26 > 5^{x^2-1} \cdot 26$

Разделим обе части на 26:

$3^{x^2-1} > 5^{x^2-1}$

Разделим обе части на $5^{x^2-1}$ (выражение всегда положительно):

$\frac{3^{x^2-1}}{5^{x^2-1}} > 1$

$(\frac{3}{5})^{x^2-1} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^{x^2-1} > (\frac{3}{5})^0$

Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-1 < 0$

$(x-1)(x+1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал между корнями $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

$-1 < x < 1$

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) $2^{x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^x$

Решение

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$2^{x+1} + 2^x > 3^{x-1} + 3^x$

Вынесем за скобки общие множители:

$2^x(2^1 + 1) > 3^{x-1}(1 + 3^1)$

Вычислим значения в скобках:

$2 + 1 = 3$

$1 + 3 = 4$

Подставим полученные значения:

$2^x \cdot 3 > 3^{x-1} \cdot 4$

Используем свойство степеней $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$:

$2^x \cdot 3 > \frac{3^x}{3} \cdot 4$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2^x \cdot 9 > 3^x \cdot 4$

Разделим обе части на $3^x$ (всегда положительно) и на 9:

$\frac{2^x}{3^x} > \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^2$

Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.